Операции над высказываниями

Из заданных высказываний можно получить новые с помощью логических операций (или логических связок, функторов), имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, строгая дизъюнкция, отрицание. Хотя эти названия звучат непривычно, они означают лишь хорошо известные связки «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда...», «или..., или...», а также присоединение к высказыванию частицы «не».

Высказывания будем обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с и т.д.

Отрицанием (логическим «НЕ») высказывания а называют такое высказывание Ø а, которое ложно, если а истинно, и истинно, если а ложно.

Отрицание является унарной связкой, т.е. оно из одной формулы образует другую, более сложную формулу: из произвольной формулы а формулу Ø а. Обозначение Ø а читается так[1]: «Не а», или «Неверно, что а». Обычно для построения отрицания данного высказывания надо присоединить к сказуемому частицу «не» или, если она уже есть, опустить её. Например, для высказывания а («Сейчас небо синее») отрицание будет Ø а («Сейчас небо не синее») или Ø а («Сейчас небо не является синим»).

Конъюнкцией (логическим «И») двух высказываний а и b называется такое высказывание а Ù b (читается «а и b»)[2], которое истинно только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания; в остальных случаях – ложно.

Поясним данное определение на примерах. Высказывание «число 2 чётное и простое» сложное, оно состоит из двух высказываний: а («число 2 чётное») и b («число 2 простое»), связанных союзом «и». Оба эти высказывания истинны. Истинным является и сложное высказывание, которое есть конъюнкция высказываний а и b. А вот высказывание «число 12 чётное и простое» является ложным. Оно есть конъюнкция двух высказываний а («число 12 чётное») и b («число 12 простое»). Первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому ложным является также и их конъюнкция.

Конъюнкция, равно как и логические операции, приведенные ниже, являются бинарными связками, т. е. они из двух формул образуют новую, более сложную формулу.

Дизъюнкцией (или неисключающей дизъюнкцией, логическим «ИЛИ») двух высказываний а и b называется высказывание а Ú b (читается: «а или b»), которое ложно только тогда, когда ложны оба составляющие его высказывания; в остальных случаях – истинно.

Например, сложное высказывание «письменное доказательство представлено в подлиннике или в форме надлежащим образом заверенной копии» будет истинным, если суду будет предъявлен хотя бы один из указанных документов.

В некоторых контекстах естественного языка союз «или» имеет иной смысл. Так, в высказывании «Подозреваемый находился или дома, или у приятеля» выражается мысль о наличии только одной из двух ситуаций, т.е. утверждается их альтернативность, невозможность одновременного присутствия подозреваемого в разных местах. В этих случаях союз «или» не может быть заменён неисключающей дизъюнкцией (символом «Ú»), ему будет соответствовать иная связка, которая называется строгой дизъюнкцией.

Импликацией двух высказываний а и b называется такое высказывание а ® b (читается: «если а, то b»; «из а следует b»; «а влечёт b»; «а достаточное условие b», «а имплицирует b»), которое ложно тогда и только тогда, когда а истинно, а b - ложно; в остальных случаях – истинно. Высказывание а называют условием (или посылкой, антецедентом), a высказывание b - заключением (или следствием, консеквентом).

Попробуем на примере разобраться с этой логической операцией. Рассмотрим два высказывания: а («проведение экспертизы поручено двум экспертам») и b («эксперты вправе совещаться между собой»). Импликация а ® b в этом случае означает: «если проведение экспертизы поручено двум экспертам, то они вправе совещаться между собой». Когда высказываниям а и b истинны, то истинно и высказывание а ® b. Но также ясно, что если проведение экспертизы не поручено двум экспертам и они не вправе совещаться между собой, то никакого противоречия не возникает. Поэтому импликация а ® b и в этом случае истинна. Единственным вариантом, когда импликация а ® b ложна, является истинность высказывания а и ложность высказывания b.

В предложениях естественного языка условие не всегда предшествуют заключению. Например, условие высказывания «Граждане совершают преступные деяния, если они имеют мотив для совершения преступления» – его вторая часть, а заключение – первая.

Союз «если …, то …» во многих случаях несёт и дополнительную смысловую нагрузку – выражает связь между положениями дел, при которой одно из них обусловливает другое. Например, в приведённом только что высказывании не просто констатируется отсутствие такой ситуации, что у граждан имеется мотив для совершения преступления, а они не совершают преступные деяния, но также указывается, что совершение гражданами преступления обусловлено фактом наличия у них соответствующего мотива.

Эквивалентностью двух высказываний а и b называется такое высказывание а «b, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания а и b либо истинны, либо оба ложны. Запись а «b читается так: «а тогда и только тогда, когда b», или «для того, чтобы а, необходимо и достаточно, чтобы b», «а эквивалентно b».

Часто для обозначения эквивалентность применяют и другие знаки: «º», «~». Тогда запись а º b читается так: «а эквивалентно b». Проиллюстрируем её на примере высказывания «Для того, чтобы привлечь ответчика к ответственности, необходимо и достаточно доказать его вину». Здесь высказывания а («ответчик привлекается к ответственности») и b («вина ответчика доказана»). Формулировка исходного высказывания включает в себя две импликации: 1) если ответчик привлекается к ответственности, то вина его доказана (импликация а ® b); 2) если вина ответчика доказана, то он привлекается к ответственности (обратная импликация b ® а, которая получается из а ® b перестановкой условия и заключения местами). В связи с этим эквивалентность иногда называют двойной импликацией.

Строгой (или исключающей) дизъюнкцией (или неэквивалентностью) двух высказываний а и b называется такое высказывание а ÚÚ b, которое истинно только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое – ложно[3]. Запись а ÚÚ b читается так: «или а, или b», «либо а, либо b) или «а исключает b».

Задания и порядок их выполнения

1. Указать предложения, которые относятся к высказываниям:

А) С закатом Солнца наступает вечер

Б) Высказыванием называется любое повествовательное предложение

В) Теория государства и права сложна

Г) Решение суда может быть обжаловано в вышестоящей инстанции

Д) Математика – интересный предмет

Ответы: А), Г).

1 *. Указать предложения, которые относятся к высказываниям:

А) Информатика – очень полезный предмет

Б) Лучше прогулять урок, чем получить на нём неудовлетворительную оценку

В) Ранняя осень – лучшее время года

Г) Через город Воронеж протекает река Воронеж

Д) Все судьи имеют юридическое образование

Ответы: Г), Д).

2. Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С выполняется А \ (В Ç С) = (А \ В) È (А \ С)»? Ответ обосновать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение. Истинность высказывания можно установить путём сравнения диаграмм Эйлера-Венна конечных результатов выполнения операций (над пересекающимися множествами) левой и правой частей высказывания.

А \ (В Ç С) = (А \ В) È (А \ С).

Ответ: Является.

3. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

Для указанных множеств справедливо: ,

Тогда

а) , , т.е. истинно.

б) , , т.е. истинно.

в) , , , т.е. истинно.

г) , , т.е. ложно

Ответы: а), б), в) - истинно; г) - ложно.

4. Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (a Ù Ø b) ® c.

Решение

1. Ø b = Ø (1) = 0. 2. a Ù 0 = 1 Ù 0 = 0. 3. (0 ® 0) = 1.

Ответ: Истина.

4 *. Повторить решение задачи для следующих высказываний (по бригадам):

1) (с Ù Ø b) ® а; Истина.

2) (с ® Ø b) Ù а; Истина.

3) Ø (с Ù b) ® а; Истина.

4) Ø (с ® b) Ù а. Ложно.

5. Определите значение истинности высказывания: если 16 делится на 4, то 15 делится на 2.

Решение. Высказывание а (16 делится на 4) - истинно, высказывание b (15 делится на 2) - ложно. Следовательно, импликация а ® b - ложна.

Ответ: Ложь.

5 *. Определите значение истинности следующих высказываний (по бригадам):

1) Если 2 ´ 2 = 4, то 7² = 49.

Решение. Обозначим а: 2 ´ 2 = 4 - И, b: 7² = 49 - И. а ® b - истина.

2) Если телепатия существует, то некоторые физические законы требуют пересмотра.

Решение: а - телепатия существует - Л. b - некоторые физические законы требуют пересмотра - можно допустить и И, и Л. а ® b - истина.

3) 18 делится на 6 тогда и только тогда, когда 18 делится на 5;

Решение: а - 18 делится на 6 - И. b - 18 делится на 5 - Л. а «b - ложь.

4) Сумма внутренних углов любого треугольника меньше 180^о тогда и только тогда, когда 2 > 3.

Решение: а - сумма внутренних углов любого треугольника меньше 180^о - Л. b - 2 > 3 - Л. а «b - истина.

6. Установите соответствие между сложными высказываниями и их символической записью:

а) Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6;

б) Произведение трёх чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю;

в) Если производная функции в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции;

1)

2)

3)

4)

Ответы: а – 1; б – 3; в – 4.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятие «высказывание».

2. Что понимается под простым и сложным высказыванием?

3. Перечислите основные логические операции над высказываниями.

4. Поясните содержание операции отрицания.

5. Что понимается под дизъюнкцией двух высказываний?

6. Что отличает строгую дизъюнкцию от неисключающей дизъюнкции?

7. Что понимается под конъюнкцией двух высказываний?

8. Поясните содержание операции импликации.

9. Поясните содержание операции эквивалентности.

10. Определите истинность высказывания (Ø (а Ú Ø b) ® (b ÙØ с)) «Ø (с Ú а), если высказывания a, b – истинны, а с – ложно.

[1] Для обозначения отрицания также применяют знак «¯» – чёрточка над буквой.

[2] Для обозначения конъюнкции также используется знак «&».

[3] Для символического обозначения строгой дизъюнкции также используется знаки: «», «≠».

Дата добавления: 2015-06-27