Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линии на плоскости




 

1. Основные понятия

 

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладаю­щих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Напри­мер, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, уда­ленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х0; у0) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

 

Пример 10.1. Лежат ли точки К(— 2; 1) и L (1; 1) на линии 2 х + у +3=0?

 

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 · (—2) + 1+3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к. 2·1 + 1 + 3≠0.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F1(x;y) = 0 и F2(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(10.1)

 

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если х = t + 1, у = t2, то значению параметра t = 2 соот­ветствует на плоскости точка (3;4), т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 22 = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется пара­метрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнениями ли­нии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению ви­да F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х2; или у — х2 = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравне­нием = (t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t0 соответствует определенный вектор 0 = (t 0) плоскости. При изменении параметра t конец вектора = (t) опишет некоторую линию (см. рис. 31).

Рис. 31

 

Векторному уравнению линии = (t) в системе коор­динат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат вектор­ного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемеща­ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями дви­жения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x;y) = 0.

Всякому уравнению вида F(x;y) = 0 соответствует, вообще говоря, не­которая линия, свойства которой определяются данным уравнением (вы­ражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению - 2)2 + - 3)2 =0 соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению х2 + у2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные за­дачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Рис. 32. Окружность радиуса R

 

       
 
Рис. 33. Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: (х2 + у2)2 — а22 — у2) = 0, а > 0; в полярных координатах:
 
Рис. 34. Трехлепестковая роза В полярных координатах ее уравнение имеет вид = а · cos 3φ, где а > 0.
 

 


Рис. 35. Улитка Паскаля

Уравнение в полярных координатах имеет вид = b + а cos φ.

Рис. 37. Астроида Уравнение в прямоугольных координатах: ; параметрические уравнения:

Рис. 36. Полукубическая парабола Уравнение кривой у2 = х3 или

 


Рис. 39. Спираль Архимеда Уравнение кривой в полярных координатах = aφ, где а > 0 — постоянное.
Рис. 38. Кардиоида Уравнение в полярных координатах имеет вид = а(1 + cos φ), где а > 0. Кардиоида — част­ный случай улитки Паскаля (а = b).

Рис. 40. Циклоида

 

Параметрические уравнения циклоиды имеют вид где а > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по непо­движной прямой.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 1376; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.