Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S₁ = (т₁; п₁; р₁) и S ₂ = (т₂; п₂;р₂) (см. рис. 78). Поэтому, по извест­ной формуле для косинуса угла между векторами, получаем или

(12.16)

Для нахождения острого угла между прямыми L₁ и L₂ числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.

Рис. 78.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos φ = 0. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е. = 0.

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то параллельны их направляющие векторы S₁ и S₂. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

Пример 12.2. Найти угол между прямыми

и

Решение: Очевидно, = (2; -1;3), a = x , где = (2; 1; -1), = (2; -1; 3). Отсюда, следует, что = (2; -8; -4). Так как · = 4 + 8 - 12 = 0, то φ = 90°.

Пусть прямые L₁ и L ₂ заданы каноническими уравнениями

Их направляющие векторы соответственно = (m₁;n₁;p₁) и = (т₂; п₂;р₂) (см. рис. 79).

Рис. 79.

Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁;y₁;z₁), радиус-вектор которой обозначим через ; прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂;y₂;z₂), радиус-вектор ко­торой обозначим через . Тогда

- = = (х₂ – х₁;у₂ –y₁;z₂ - z₁)

Прямые L₁ и L ₂ лежат в одной плоскости, если векторы , и = - компланарны. Условием компланарности векторов явля­ется равенство нулю их смешанного произведения: ( - ) = 0, т. е.

При выполнении этого условия прямые L₁ и L ₂ лежат в одной плоско­сти, то есть либо пересекаются, если ≠ λ , либо параллельны, если ||

12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи

Дата добавления: 2015-06-28