Логарифмическая функция

Определение

Пусть имеется аналитическая функция в области и — подобласть. Если продолжения элемента по всевозможным путям в приводят к построению одного элемента

для каждой точки , то функция голоморфна в . Эта функция (или пара ) называется голоморфной ветвью аналитической функции.

Ветвь аналитической функции — это голоморфная функция, порожденная одним из элементов аналитической функции.

1⁰. В курсе вещественного анализа построена логарифмическая функция на луче , на интегрвале логарифмическая функция представляется степенным рядом

.

Этот степенной ряд позволяет построить канонический элемент логарифма в круге единичного радиуса с центром в точке :

.

Из вещественного анализа известно, что . По теореме единственности . Такие рассуждения именуются принципом перманентности.

Ранее мы построили ветвь логарифма в области — комплексной плоскости с разрезом :

для

На круге функции и совпадают. Функция голоморфна в области ,

.

Для функции имеет место представление интегралом по переменному пути:

, соединяет и в области .

Интеграл можно использовать для построения аналитического продолжения вдоль пути.

Дата добавления: 2015-06-28