Определение

Точки ветвления аналитических функций.

Теорема 2 О монодромии.

Доказательство.

Доказанное предложение означает, что малые изменения параметра не меняют результат продолжения. За несколько шагов можно провести полное преобразование.

Замечание. Существенно, что исходный элемент допускает продолжение по всем путям. Продолжения логарифма вдоль верхней и нижней полуокружностей дают разные результаты. Это объясняется тем, что среди путей, преобразующих одну полуокружность в другую, неизбежно найдется проходящий через . Вдоль такого пути продолжение невозможно.

Если продолжение элемента возможно по любому пути в односвязной области, то результат не зависит от пути. Продолжение приводит к голоморфной функции.

Говорят еще, что аналитическая функция в односвязной области однозначна.

Пусть элемент порождает аналитическую функцию в проколотой окрестности точки . Продолжим этот элемент вдоль окружности с центром (совершим обход точки ). Может случиться, что мы получим тот же элемент . Тогда аналитической функции отвечает голоморфная функция. Если в результате обхода получается элемент , точка называется точкой ветвления аналитической функции.

Повторяя операцию продолжения, мы получим элементы . Если все эти элементы различны, — логарифмическая точка ветвления. В противном случае мы имеем точку ветвления конечного порядка. Число различных элементов называется порядком точки ветвления.

Примеры. 1) Логарифмическая функция имеет в нуле логарифмическую точку ветвления. Обход нуля прибавляет к логарифму слагаемое .

2) Квадратный корень , операция применяется к элементам. Двукратный обход нуля прибавляет к число , что не влияет на значение экспоненты. Квадратный корень имеет в нуле точку ветвления второго порядка.

3) Корень -й степени имеет точку ветвления -го порядка.

Замечание. Если функция аналитична в , то ее элементы в точках проколотой окрестности могут оказаться не связанными друг с другом путями в . Говорят, что функция распадается на ветви.

Пример

в проколотой окрестности единицы распадается на три функции: две голоморфные функции и одна функция с точкой ветвления второго порядка.

Дата добавления: 2015-06-28