Примеры вычисления критической нагрузки приближенным методом

Задача 1

Защемленный левым концом стержень с постоянным поперечным сечением 6х12 см сжимается силой Р (рис. 6.18).

Рис. 6.18

Определить критическую силу Р_кр, если l=1 м и E=2^.10⁵ МПа.

Таблица 6.4

Схема закрепления концов стержня	Граничные условия	Рекомендуемые функции V(z)
1
1)	, , , .	,
2)	, , , .
3)	, , , .
4)	, , , .	,
5)	, , , .	,
6)	, ,	,
7)	, , .	,
Окончание табл. 6.4
8)	, , , .	,
9)	, , , .	,
10)	, , , .	,
11)	, , , .	,
12)	, , .	.

Выберем функцию для изогнутой оси стержня в виде , запишем производные и проверим граничные условия:

; ; .

Граничные условия , , , удовлетворяются. Следовательно, функция выбрана верно.

.

После подстановки исходных данных получим величину критической силы Р_кр=1,07 МН.

Задача 2

Стержень (рис. 6.19) сжимается силой Р.

Определить критическую силу, если l=1 м и E=2^.10⁵ МПа. I=2^.10^-6 м⁴.

Рис. 6.19

Уравнение изогнутой оси стержня выберем в форме . Производные функции ;

; . Граничные условия , и удовлетворяются.

Вычислим критическую силу

.

В результате подстановки исходных данных получим значение критической силы Р_кр=1,03 MH.

Задача 3

Определить силу Р_кр и коэффициент приведения длины для стержня (рис. 6.20). Вычисления сделать при следующих исходных данных:l=1,2м и E=2^.10⁵ МПа. J₁=2J₂ =1,9^.10^‑6 м⁴.

Рис. 6.20

Выберем форму изогнутой оси в виде . Граничные условия удовлетворяются. Тогда

.

Из этого выражения можно вычислить коэффициент приведения длины .

.

При подстановке исходных данных получим значение Р_кр=0,5 МН.

Разберем несколько примеров, когда по длине стержня действуют осевые погонные нагрузки постоянной интенсивности q.

Задача 4

Стержень (рис. 6.21) нагружен погонной нагрузкой постоянной интенсивности q. Определить критическую нагрузку , если l=3,5 м и E=2^.10⁵ МПа. J=3^.10^-6 м⁴.

Используя уравнение (6.26) и учитывая, что , получаем выражение для критической

Рис. 6.21

интенсивности погонной нагрузки

. (6.30)

Уравнение формы изогнутой оси можно выбрать в виде полинома

.

Запишем производные и из граничных условий найдем постоянные , ,

и :

;

.

Граничные условия и дают значения = 0 и = 0. Граничные условия в защемленном конце и позволяют найти значения и . Уравнение примет следующий вид:

,

,

.

По формуле (6.30) определяем

.

Таким образом, получим

Задача 5

Определить критическую длину стальной стойки, на которую действует собственный вес (рис. 6.22), когда не теряется устойчивость.

Исходные данные: , E=2^.10⁵ МПа, F=6^.10^{-2 м2}, J=2^.10^‑4 м⁴.

Вычислим и подставим в уравнение (6.26)

.

Отсюда . Тогда .

. (6.31)

Решим задачу, используя несколько вариантов выбора формы изогнутой оси.

Рис. 6.22

а) Выберем функцию в следующем виде:

.

Определим первую и вторую производные:

, .

Подставив производные в формулу (6.31), вычислим критическую нагрузку

.

Коэффициент приведения длины =1,1.

Теперь можно найти критическую длину стойки

,

где .

Подставив исходные данные, найдем, что м.

Вес стойки при этой длине МН

б) Выберем в качестве функции тригонометрический полином

.

Найдем производные этого полинома и из граничных условий – коэффициенты a ₀, a ₁ и a ₂:

;

;

.

Граничные условия , , и дают два уравнения: и , откуда , .

Тогда уравнения будут следующими:

;

;

.

Вычислим критическую нагрузку

.

Критическая длина стойки

, м.

Вес стойки при этой длине МН.

в) Выберем в качестве функции алгебраический полином пятой степени.

;

;

;

.

Используя граничные условия, находим коэффициенты полинома:

, , ;

;

.

Отсюда . Тогда .

Получим полином и его производные по переменной “z” в следующем виде:

;

;

.

Вычислим критическую нагрузку и критическую длину стойки:

Подставив исходные данные, получим

, м.

Вес стойки МН.

Точное решение с использованием функций Бесселя получено в следующем виде , откуда , м.

Таким образом, все выбранные функции дают довольно близкие к точному решению значения, кроме функции , так как эта функция не удовлетворяет граничному условию , поэтому получено завышенное значение на 1,7 % значение .

Задача 6

Для ступенчатого стержня переменного сечения, нагруженного в соответствии со схемой (рис. 6.23), определить критическую нагрузку и коэффициент приведения длины . Задачу решим двумя вариантами.

I вариант. Запишем уравнение изогнутой оси стержня: .

Для вычисления критической нагрузки потребуются первая и вторая производные,

а для проверки граничных условий - еще и третья. Запишем эти производные:

; ;

Рис. 6.23

.

Значения функции и производных на концах стержня , , и удовлетворяют граничным условиям.

Запишем уравнение равновесия для деформированного стержня

.

Уравнение продольных сил на первом и втором участках будут равны (, )

и .

Получим

,

,

где .

II вариант. Рассмотрим конструкцию как стержневую систему.

Для первого стержня . Запишем первые три производные этого уравнения: ; ; .

Для второго стержня .

Первые три производные этого уравнения по переменной “z”

; ; .

удовлетворяют всем граничным условиям:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Для составления уравнений N₁(z) и N₂(z) рассмотрим стержневую систему (рис.6.24) и запишем уравнения

, ,

, .

Из граничных условий и условий сопряжений находим

1) ;

2)

Рис. 6.24

;

3) ;

4) .

Тогда получим .

Теперь составим уравнения продольных сил для первого и второго участков

, ;

, .

Уравнение равновесия запишем в следующем виде:

,

,

где .

Если момент инерции сечения стержня = 200 см⁴, l= 3 м и E = 2 10⁵ MПа, получим

.

Критическая нагрузка =12 т.

Расчеты на устойчивость по коэффициенту снижения

основного допускаемого напряжения на сжатие

Ранее предполагалось, что в стержне при сжатии не возникают пластические деформации. Это предположение верно для тонких и длинных стержней, в которых напряжения сжатия при критических нагрузках остаются меньше предела пропорциональности. Для коротких стержней больших поперечных сечений критическая сила будет большей и в этом случае могут возникнуть пластические деформации еще до наступления потери устойчивости. Простой расчет на сжатие здесь не годится, так как стержень имеет достаточную длину и сохраняет особенности поведения, связанные с потерей устойчивости. С другой стороны, расчет на устойчивость по формуле Эйлера также не корректен, поскольку в стержне возникают пластические деформации. В этом случае расчет на устойчивость ведется по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения на сжатие. Этот метод заключается в том, что допускаемое напряжение на устойчивость определяют как часть допускаемого напряжения на простое сжатие .

, (6.32)

где - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие

( < 1).

Допускаемые напряжения устойчивости и сжатия равны соответственно

и , (6.33)

где - критическое напряжение, определяемое по формуле Эйлера; - предел прочности материала; - коэффициенты запаса устойчивости и прочности.

Таблица 6.5

Гиб- кость	Значение коэффициента
	Сталь Ст.2, Ст.3, 40С	Сталь Ст.5	Чугун	Дерево (сосна, ель)	Сталь СПК
	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00
	0.99	0.98	0.97	0.99	0.97
	0.96	0.95	0.91	0.97	0.95
	0.94	0.92	0.81	0.93	0.91
	0.92	0.89	0.69	0.87	0.87
	0.89	0.86	0.57	0.80	0.83
	0.86	0.82	0.44	0.71	0.79
	0.79	0.76	0.34	0.60	0.72
	0.75	0.70	0.26	0.48	0.65
	0.69	0.62	0.20	0.38	0.55
	0.60	0.51	0.16	0.31	0.43
	0.52	0.43	-	0.25	0.35
	0.45	0.38	-	0.22	0.30
	0.40	0.32	-	0.18	0.26
	0.36	0.29	-	0.16	0.23
	0.32	0.26	-	0.14	0.21
	0.29	0.24	-	0.12	0.19
	0.26	0.21	-	0.11	0.17
	0.23	0.19	-	0.10	0.15
	0.21	0.17	-	0.09	0.14
	0.19	0.16	-	0.08	0.13

Коэффициент может быть выражен в виде

. (6.34)

Критические напряжения по формуле Эйлера будут равны

. (6.35)

Введя в формулу (6.35) обозначения (радиус инерции сечения) и (гибкость стержня) получим формулу Эйлера в следующем виде:

. (6.36)

Критическое значение гибкости стержня определяется из условия ,
где - предел пропорциональности материала стержня.

Критическое значение гибкости получим

. (6.37)

Значения коэффициента снижения основного допускаемого напряжения в зависимости от материала и от гибкости стержня приведены в табл. 6.5.

Зная коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие можно записать условие устойчивости:

Пример расчета

Из условия устойчивости с использованием коэффициента снижения основного допускаемого напряжения определить размеры прямоугольного сечения деревянной стойки, нагруженной продольной сжимающей силой Р.

Схема закрепления концов стержня показана на рис. 6.25. Задачу решить при следующих исходных данных: отношение сторон прямоугольного сечения h:b=2:1; l=3м; P=200 кН; =10 МПа=1 кН/см²; Е=0,9 10⁴ МПа.

Выразим интегральные характеристики поперечного сечения и гибкость стойки через b:

Рис. 6.25

, , .

Тогда гибкость стойки

.

Необходимую величину сечения «b» найдем путем последовательных приближений.

В первом приближении принимаем , тогда получим

см² см.

При этом гибкость стойки .

Значение коэффициента при находим по табл. 6.5 путем интерполяции

.

Тогда допускаемое напряжение в поперечном сечении стойки

Действительное напряжение в сечении стойки:

.

Сечение значительно недогружено: .

Возьмем следующее приближение:

.

и .

Тогда гибкость стойки

.

При гибкости стойки

,

МПа, МПа.

Сечение еще значительно недогружено.

Делаем третье приближение , тогда необходимая площадь сечения

, .

Гибкость стойки

, .

Допускаемое напряжение МПа.

Действительное напряжение МПа.

.

Недогрузка в этом случае составляет

, что допустимо.

Таким образом, принимаем сечение с размерами b=12 см и h=24 см.

Значение критической силы

.

Тогда коэффициент запаса устойчивости

.

Для решения задач с использованием коэффициента снижения основного допустимого напряжения обычно достаточно трех-четырех приближений.

В прил. 6 приведены формулы для вычисления часто встречающихся интегралов при расчетах на устойчивость и дано индивидуальное задание по оценке силовых параметров при рассмотрении устойчивости стержней.

Дата добавления: 2015-06-28