В полярной системе координат 2 страница

2.5. Смешанное произведение векторов:

Определение: смешенным произведением трех ненулевых векторов называется произведение, в котором два первых вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор.

Обозначение: или .

1) - число

2) Геометрический смысл:

- объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на ребрах

(с “+”, если тройка правая, с “-“, если тройка левая).

- объем параллелепипеда.

, где , .

Свойства:

1)

2) При круговой перестановке смешанное произведение не изменяется:

Приложения:

- -компланарны

- если , то тройка правая;если , то тройка левая;

- -объем параллелепипеда,

-объем пирамиды.

РАЗДЕЛ III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1. Задачи на точку:

1) Если , то середина отрезка - ;

2) -деление отрезка в заданном отношении .

3) Если , то - расстояние между точками и .

3.2. Прямоугольная и полярная системы координат:

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными осями:

- ось абсцисс и - ось ординат.

- начало координат.

- прямоугольные координаты точки, где - абсцисса, - ордината.

Полярная система координат задается лучом - поляной осью и полюсом - точкой .

- полярные координаты,

где - полярный радиус, - полярный угол. , .

3.3. Связь прямоугольной и полярной систем координат:

Прямоугольные координаты через полярные: .

Полярные координаты через прямоугольные:

, где

3.4.Виды уравнений прямой на плоскости:

1) - нормальное уравнение прямой ( - перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую)

2) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой.

С помощью нормирующего множителя сводят общее уравнение к нормальному.

3) - уравнение с угловым коэффициентом (b-ордината точки пересечения прямой с oy, - угловой коэффициент прямой)

4) - уравнение пучка прямых ();

5) - уравнение прямой, проходящей через 2 точки с коoрдинатами ;

6) - уравнение прямой в отрезках на осях ;

3.5. Задачи на прямую на плоскости:

1) - угол между прямыми и .

2) Условие параллельности прямых:

- для прямых и ,

- для прямых и .

3) Условие перпендикулярности прямых:

- для прямых и ,

- для прямых и .

4) - расстояние от до прямой .

5) Координаты точки пересечения прямых и :

3.6. Уравнения окружности:

- общее уравнение кривой второго порядка.

Определение: окружностью называется ГМТ (геометрическое место точек) плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой центром, на одно и то же расстояние, называемое радиусом.

- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R.

- каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом ;

- общее уравнение окружности, т.к. коэффициенты при квадратах переменных равны и нет слагаемого, содержащего произведение переменных.

3.7. Эллипс:

Определение: эллипсом называется геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная .

Каноническое уравнение эллипса -

- большая полуось, - меньшая полуось,

- меньшая полуось, - большая полуось,

- полуфокусное расстояние - полуфокусное расстояние.

3.8. Парабола:

Определение: параболой называется ГМТ плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

-каноническое уравнение параболы,

ветви вдоль OX, - вершина;

– расстояние между F и директрисой,

характеризует ширину раствора ее ветвей,

- ветви вдоль OX, - вершина

- ветви вдоль OY, - вершина

- ветви вдоль OX, - вершина

- ветви вдоль OY, - вершина

3.9. Гипербола:

Определение: гиперболой называется ГМТ плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная .

- действительная полуось - мнимая полуось

- мнимая полуось - действительная полуось

- полуфокусное расстояние - полуфокусное расстояние

- формула связи - формула связи

- директрисы - директрисы

- фокусы

- асимптоты

3.10. Плоскость в пространстве:

1) - общее уравнение плоскости с нормальным вектором плоскости

2) -

уравнение плоскости проходящей через и имеющей нормальный вектор .

3) - уравнение плоскости, проходящей через точки ;

; .

4) - уравнение плоскости в отрезках, где - отрезки, отсекаемых плоскостью на осях соответственно.

3. 11. Задачи на плоскость в пространстве:

Если с нормальным вектором

с нормальным вектором , то

1) - угол между плоскостями;

2) ║ ║ и ;

3) ;

4) Если , то расстояние от до плоскости определяется формулой: .

3.12. Прямая в пространстве:

1) -канонические уравнения прямой, проходящей через с направляющим вектором (лежащим на прямой или параллельным ей);

2) - параметрические уравнения прямой;

3) - уравнения прямой, проходящей через точки и ;

4) - общие уравнения прямой (линия пересечения двух не параллельных плоскостей)

Направляющий вектор этой прямой: .

Если подставить (или или ) и решить получившуюся систему, то получим одну из точек прямой.

3.13. Задачи на прямую в пространстве:

Если - направляющий вектор прямой ,

- направляющий вектор прямой , то

1) - угол между и ;

2) ║ ║ и ;

3) .

3.14. Задачи на прямую и плоскость в пространстве:

Если с нормальным вектором

: - с направляющим вектором , то

1) - угол между прямой и плоскостью ( -величина наименьшего угла между прямой и ее проекцией на плоскость )

2) ║ и

3) ║ и

4) Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости: необходимо задать прямую параметрически, подставить в общее уравнение плоскости, решить получившееся уравнение относительно и подставим в параметрические уравнения прямой.

3.15. Цилиндрические поверхности:

Определение: цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением некоторой прямой, называемой образующей, если образующая перемещается в пространстве параллельно самой себе и пересекает при этом некоторую неподвижную линию, называемую направляющей (например, ).

Если в координатном пространстве уравнение не содержит одной переменной, то оно определяет цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси отсутствующей переменной, а направляющая лежит в плоскости присутствующих переменных и задается в этой плоскости тем же уравнением, что и сама цилиндрическая

поверхность.

Например:

- круговой цилиндр.

- круговой цилиндр

- параболический цилиндр

- гиперболический цилиндр

РАЗДЕЛ IV. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. - однополостный гиперболоид (если

Дата добавления: 2015-06-28