Уравнения первого порядка 1 страница

КУРС

.

14.3. Применения двойного интеграла:

· или - вычисление площади фигур;

· - вычисление объема;

· - масса плоской неоднородной пластины плотности (механический смысл двойного интеграла);

· ; - статические моменты относительно осей;

· ; - координаты центра масс пластины;

· Моменты инерции пластины:

14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:

Пусть функция непрерывна в замкнутой области .

Определение: конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется тройным интегралом от этой функции по области , где - диаметр частичной области.

Т.о. , где - объем каждой частичной области.

Вычисление тройных интегралов:

1. В декартовой системе координат:

2. В цилиндрической системе координат (ц.с.к.):

Определение: цилиндрическими координатами т. называется тройка чисел , где и - полярные координаты проекции т. на плоскость , - аппликата т. .

,

.

При переходе к цилиндрическим координатам полезно использовать: .

Тройной интеграл целесообразно вычислять в ц.с.к., если:

- область интегрирования ограничена хотя бы одной из поверхностей (прямой круговой цилиндр), (параболоид вращения), (прямой круговой конус) с ;

- область проецируется на плоскость в круг или любую его часть.

3. В сферической системе координат (с.с.к.):

Определение: тройка чисел называется сферическими координатами т. , где - длина радиус-вектора точки, - величина угла между осью и радиус - вектором, - полярный угол проекции т. на плоскость .

Тройной интеграл целесообразно вычислять в с.с.к., если - шар или его часть.

При переходе к сферическим координатам полезно использовать, что .

14.5. Применения тройного интеграла:

· - объем тела в декартовой системе координат;

· - объем тела в цилиндрической системе координат;

· - объем тела в сферической системе координат;

· - масса неоднородного тела с плотностью ;

· Статические моменты относительно координатных плоскостей:

;

;

.

· ; ; - координаты центра масс;

· Моменты инерции тела относительно координатных осей:

;

;

;

· Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей:

;

;

Момент инерции относительно :

.

РАЗДЕЛ XV. КРИВОЛИНЕНЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

15.1. Криволинейный интеграл по длине дуги ( рода):

Пусть непрерывна в каждой точке гладкой дуги .

Определение: конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется криволинейным интегралом по длине дуги от функции по кривой , где - длина полученных частичных дуг .

Т.о. .

Основные свойства:

1) ;

2) ;

3) Если в каждой точке дуги , то и ;

4) Если в каждой точке дуги , то и

;

5) ;

6) , где - длина дуги , - точка дуги.

15.2. Вычисление криволинейных интегралов по длине дуги:

· - в случае явного задания кривой интегрирования ;

· - в случае параметрического задания кривой интегрирования ;

· - в случае задания кривой интегрирования в п.с.к. .

15.3. Применения криволинейного интеграла по длине дуги:

· - длина дуги;

· - масса неоднородной дуги с плотностью ;

· ; - стат. моменты дуги относительно координатных осей;

· ; - координаты центра масс дуги;

· Моменты инерции дуги:

15.4. Криволинейный интеграл по координатам ( рода):

- составной криволинейный интеграл.

Пусть - непрерывна в каждой точке гладкой направленной дуги .

Определение: конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется криволинейным интегралом по координате от функции по кривой , где

Т.о. , где - величины полученных частичных проекций на ось частичных дуг.

Аналогично .

Основные свойства:

1) ;

2) ;

3) Криволинейные интегралы по координатам, взятые по замкнутому контуру не зависят от выбора на контуре начальной точки, но зависят от направления обхода контура.

Если направление обхода не указано, то полагают, что контур обходится в положительном направлении (такое, при котором точки области, ограниченные контуром, остаются слева).

15.5. Вычисление криволинейных интегралов по координатам:

1. - в случае явного задания кривой интегрирования ;

2. - в случае

параметрического задания кривой интегрирования ;

3. - формула Грина, где - область, ограниченная контуром .

4. Если , то ;

5. Если и - незамкнутая кривая, то

, т.е. вычисление таких интегралов сводится к вычислению определенных, однако, в качестве линии интегрирования удобно брать ломаную, звенья которой параллельны осям координат.

15.6. Применения криволинейных интегралов по координатам:

1. - нахождение функции по ее полному дифференциалу, где - точка из области непрерывности ;

2. - работа силы , где , по перемещению материальной точки ;

3. - площадь плоской фигуры.

Теорема (условие независимости составного интеграла по координатам от формы кривой интегрирования):

Если функции и их частные производные первого порядка непрерывны в некоторой области , то для того чтобы составной интеграл по координатам не зависел от формы кривой интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных .

РАЗДЕЛ XVI. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

16.1. Поверхностный интеграл по площади поверхности :

Пусть функция - непрерывна в каждой точке гладкой поверхности .

Определение: конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется поверхностным интегралом по площади поверхности от функции по поверхности , где - диаметр частичной поверхности.

Т.о. , где - площадь частичной

поверхности.

Определение: сторона поверхности называется положительной (отрицательной) в направлении оси , если нормаль, проведенная к этой стороне в произвольной точке составляет с осью острый (тупой) угол.

Аналогично, для осей .

Определение: выбор одной из двух сторон поверхностей (положительной или отрицательной) в направлении определенной оси называется ориентацией поверхности в направлении выбранной оси.

Основные свойства:

1. Поверхностные интегралы не завися от ориентации поверхности в направлении любой оси.

2. ;

3. Если всюду на , то и ;

4. Если всюду на , то и ;

5. ;

6. , где - площадь , - из поверхности .

16.2. Вычисление поверхностных интегралов по площади поверхности:

1. Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;

2. Тогда уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируем на соответствующую двумерную плоскость.

Например, если такая прямая параллельна оси , то

- уравнение : ;

- проецируем на и находим по формуле .

3. Переходим к двойному интегралу:

.

16.3. Применения поверхностных интегралов по площади поверхности:

· - площадь поверхности ;

· - масса гладкой неоднородной поверхности с плотностью ;

· Статические моменты относительно координатных плоскостей:

-;

· - координаты центра масс поверхности;

· Моменты инерции поверхности относительно координатных осей:

16.4 Поверхностный интеграла по координатам :

Пусть имеет гладкую поверхность , соорентируем ее в направлении оси .

Положим, что в каждой точке этой поверхности задана непрерывная функция .

Определение: конечный предел интегральной суммы функции на поверхности при условии, что и называется поверхностным интегралом по координатам от функции по поверхности , где - диаметр частичной поверхности.

Т.о. , где - величина полученной

частичной проекции на (число со знаком).

Аналогично, определяются поверхностные интегралы по координатам .

Составной поверхностный интеграл по координатам:

Основные свойства:

1) Каждый из поверхностных интегралов по координатам зависит от ориентации поверхности в направлении соответствующей оси, т.е.

2) Если - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси , то ;

3) Связь между поверхностными интегралами и рода:

,

где - углы, образованные вектором с соответствующими координатными осями.

16.5. Вычисление поверхностного интеграла по координатам:

1) Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;

2) Ориентируем поверхность в направлении этой оси;

3) Уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируем на соответствующую двумерную плоскость.

4) Переходим к двойному интегралу:

Дата добавления: 2015-06-28