Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Несобственные интегралы

При введении определенного интеграла предполагалось, что выполняются условия:

1) пределы интегрирования и являются конечными;

2) подынтегральная функция непрерывна на

Если эти оба условия выполняются, то такой интеграл называется собственным определенным интегралом. Но слово собственный обычно опускается.

Если хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, то интеграл называется несобственным определенным интегралом. Слово определенный здесь обычно опускается.

Мы будем изучать несобственные интегралы двух видов:

1.Интегралы с бесконечными пределами (когда нарушается условие 1)).

2.Интегралы от разрывных функций (когда нарушается условие 2)).

Пусть функция определена и непрерывна при

Несобственным интегралом от функции с бесконечным верхним пределом называется интеграл

если предел, стоящий справа, существует. Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если же этот предел не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

Легко выяснить геометрический смысл несобственного интеграла в случае, когда выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

где любое конечное число.

Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует и интеграл, стоящий слева.

Пример. Вычислить

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезными следующие теоремы, которые мы примем без доказательства, а применение их рассмотрим на примерах.

Теорема 1. Если для всех выполняются неравенства и если сходится, то также сходится, при этом

Пример. Исследовать, сходится ли

Заметим, что при

Далее

Следовательно, сходится и его значение

Теорема 2. Если для всех выполняются неравенства причем расходится, то расходится и интеграл

Пример. Исследовать, сходится ли

Замечаем, что

Но

Следовательно, расходится и данный интеграл.

Теорема 3. Если знакопеременная функция на и сходится, то сходится и причем говорят, что он сходится абсолютно.

Пример. Исследовать сходимость

Здесь подынтегральная функция – знакопеременная. Замечаем, что Но

Следовательно, сходится. Отсюда следует, что сходится и данный интеграл, причем абсолютно.

Дата добавления: 2014-01-03