Теорема

Если на множестве А задано отношение эквивалентности ~, оно определяет разбиение множества А на непустые непересекающиеся классы эквивалентности.

Обратная теорема.

Положим P = {} – разбиение множества А: È = A, Ç = Æ, i ≠ j. Тогда на множестве А строится отношение эквивалентности по правилу (" x, y Î A): x ~ y Û x Îи y Î

Доказательство.

1. x ~ x (x Î); Если x ~ y, то y ~ x (x, y Î);

3. Если x ~ y, y ~ z, то x ~ z (x, y, z Î). Теорема доказана.

Определение. Семейство классов эквивалентности, построенных по данному отношению эквивалентности ~, называется фактормножеством м ножества А по отношению ~.

Пример.

Пусть и бинарное отношение задается правилом Доказать, что - отношение эквивалентности и описать классы эквивалентности.

Дата добавления: 2014-01-03