Пересечение поверхности плоскостью

Лекция 6

План лекции:

6.1. Пересечение многогранника плоскостью

6.2. Кривые поверхности

6.3. Принадлежность точки и линии поверхности

6.4. Пересечение кривых поверхностей плоскостью

6.5. Пересечение поверхностей прямой линией

6.6. Вопросы для самоконтроля

Пересечение многогранника плоскостью  

Многогранник – пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников. Это призмы, пирамиды. Стороны многоугольников образуют ребра, а плоскости многоугольников – грани. При пересечении многоугольников плоскостью получается плоская фигура, которая называется сечением. Проекциями сечения многогранников является многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны – граням многогранника. Число вершин многоугольника соответствует числу пересеченных ребер. Существует два способа построения сечения: 1. Способ ребер – многократное определение точки пересечения прямой (каждого ребра многогранника) с плоскостью. 2. Способ граней - многократное определение линии пересечения двух плоскостей (каждой грани многогранника с плоскостью) При использовании способа ребер после построение вершин сечения каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника, необходимо соединить отрезками прямых. При этом стороны сечения, лежащие на видимых гранях, будут видимы, а лежащие на невидимых гранях – невидимы. Плоскость занимает проецирующее положение. Дано: SABCDF, Σ Найти: SABCDF ∩ Σ Решение: Фронтально-проецирующая плоскость Σ. Основание пирамиды II П₁. Боковые грани пирамиды занимают общее положение в пространстве. Плоскость Σ пересекает все грани пирамиды, следовательно, в сечении будет пятиугольник. 1. Фронтальная проекция пятиугольника, будет совпадать со следом – проекцией плоскости Σ, т.к. Σ – фронтально-проецирующая плоскость, след-проекция обладает собирательным свойством. 2. Горизонтальная проекция пятиугольника находится по принадлежности (линии связи). Дано: ABCA′B′′, Σ(a ∩ b) Найти: ABCA′B′C′ ∩ Σ(a ∩ b) Решение: Грани призмы – плоскости частного положения, горизонтально проецирующие. Плоскость Σ – плоскость общего положения. Горизонтальная проекция сечения призмы плоскостью совпадает с горизонтальной проекцией призмы (собирательное свойство). Фронтальная проекция определяется, используя способ граней. I. A₁B₁ = Q′₁ 1. Q₁ ∩Σ₁ (a ∩ b) = 1₁2₁1₂2₂ 2. 1₂2₂ ∩ A₂A′₂ = K₂, 1₂2₂ ∩ B₂B′₂ = L₂ II. B₁C₁ = ∆₁ 1. ∆₁ ∩ Σ₁ (a ∩ b) = 3₁4₁3₂4₂ 2. 3₂4₂ ∩ C₂C′₂ = M₂ III. K₂L₂M₂ = K₂ U L₂ U M₂ Дано: S, ABCD, Q(a II b) Найти: SABSD ∩ Q Решение: Боковые грани пирамиды занимают в пространстве общее положение. Основание пирамиды – плоскость горизонтального уровня. Плоскость Q(a II b) – плоскость общего положения. Применяем способ ребер. 1. S₂A₂ = Q₂ 2. Q₂ ∩ Q₂ = 1₂2₂1₁2₁ 3. 1₁2₁ ∩ S₁A₁ = M₁ M₂ 4. S₂B₂ = Σ₂ 5. Σ₂ ∩ S₂B₂ = 3₂4₂3₁4₁ 6. 3₁3₁ ∩ S₁B₁ = N₁ N₂ 7. S₂C₂ = ∆₂ 8. ∆₂ ∩ S₂C₂ = 5₂6₂ 5₁6₁ 9. 5₁6₁∩ S₁C₁= K₁ K₂ 10. S₂D₂ = T₂ 11. T₂ ∩ S₂D₂ = T₂S₂ T₁S₁ 12. 7₁8₁ ∩ S₁D₁ = L₁ L₂ 13. M₁N₁K₁L₁ M₂N₂K₂L₂ 14. Видимость   Точка и прямая линия на поверхности многогранника В плоскости грани ABD проведена прямая, определяется точками 1 и 2, лежащими на ребрах AB и BD. Точка M находится на этой прямой и принадлежит грани ABD. Определение положения прямой и точки на простейшем многограннике – тетраэдре (имеет 4 грани) относится ко всем многогранникам.

Кривые поверхности

Кривая поверхность, как геометрическая фигура может задана (описана) тремя способами: 1. Аналитический способ: Поверхность подразумевается как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость. 2. Каркасный способ: Каркасом называется множество точек или линий, принадлежащих поверхности. На конусе можно выделить каркас окружностей и каркас образующих. 3. Кинематический способ: Он используется в начертательной геометрии. Поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. При этом подвижная линия называется образующей, а неподвижная, по которой скользит образующая, называется направляющей. Поверхности подразделяются в зависимости от того, по какому закону движется образующая: она может поступательно перемещаться, иметь винтовое перемещение и вращаться. Поверхности образованные вращением образующей линии вокруг неподвижной оси называются поверхностью вращения. Образующая может быть как плоской, так и пространственной кривой. Вес точки плоской кривой линии лежат в одной плоскости. Кривые второго порядка (степень алгебраического уравнения, описывающего кривую) – окружность, эллипс, парабола, гипербола, синусоида, циклоида. Кривые, точки которых не лежат в одной плоскости называются пространственными кривыми. Каждая точка образующей l при вращении вокруг оси i описывает окружность. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая параллель называется экватором, наименьшая – горлом. Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридиональной плоскостью. Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью, называется меридианом поверхности. Меридианом являются: - для цилиндра и конуса вращения – прямая линия - для гиперболоида вращения – гипербола - для параболоида – парабола

Принадлежность точки и линии поверхности

Построение проекций точек принадлежащих поверхности геометрического тела, производится с помощь построения проекций вспомогательных линий, принадлежащих этой поверхности и проходящих через эти точки, а затем определение положения точек на этих линиях. В качестве вспомогательных линий выбираются наиболее простые и удобные для построения: прямые, окружности. Построение линии, принадлежащей поверхности, состоит в построении «n» точек, принадлежащих этой линии. Для построения прямой линии необходимо построение проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Пересечение кривых поверхностей плоскостью

При пресечении кривой поверхности плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением. Для построения точек, принадлежащих фигуре сечения в одних случаях используют вспомогательные линии, в других случаях вспомогательные плоскости. Построение сечения кривой поверхности плоскостью начинают с нахождения опорных точек, определяющих искомую кривую, а далее находят произвольные точки этой фигуры. К числу опорных точек относятся: высшая, низшая точки фигуры; точки, расположенные на крайних очерковых образующих поверхности; ближайшая и наиболее удаленная точки фигуры. Определение положения опорных точек: 1. Высшая и низшая точки определяются при помощи горизонтально проецирующей плоскости, проведенной через ось поверхности, перпендикулярно к горизонтальному следу (горизонтали плоскости). 2. Ближайшая и наиболее удаленная точки находятся при помощи двух фронтальных плоскостей, проходящих через переднюю и заднюю образующие. 3.Точки на крайних очерковых образующих являются точками видимости. Они разделяют полученную проекцию кривой на видимую и невидимую части. При решении задач на пересечение поверхности плоскостью необходимо заранее представить вид кривой, получающейся в сечении. Прямой круговой цилиндр В пересечении прямого кругового цилиндра плоскостью могут образовываться: - прямоугольник, если плоскость сечения параллельна оси цилиндра - окружность, если плоскость перпендикулярна оси - эллипс, ели плоскость наклонена к оси При пересечении конуса плоскостью: - окружность, если секущая плоскость параллельна основанию конуса - треугольник, если плоскость проходит через вершину конуса - эллипс, если плоскость наклонена к оси под углом большим угла наклона образующей к оси - парабола, если плоскость параллельна образующей и не проходит через вершину - гипербола, если плоскость параллельна двум образующим и не проходит через вершину или параллельна оси При пересечении сферы любой плоскостью в сечении образуется окружность Окружность проецируется в окружность, если плоскость параллельна плоскости проекции. Окружность проецируется в прямую линию, если плоскость перпендикулярна плоскости проекции. Окружность проецируется в эллипс, если плоскость наклонена к плоскости проекции.   Дано: конус, Σ Найти: конус ∩ Σ Решение:   Основание конуса _┴ П₁ Плоскость Σ _┴ П₁ – горизонтально проецирующая плоскость. В сечении гипербола, так как, секущая плоскость параллельна двум образующим. Точки А и В – точки пересечения основания конуса плоскостью Σ. Точки находим с помощью вспомогательных линий – образующих. Определение опорных точек: низшей точки нет, так как, плоскость пересекает основание. Высшая точка – D: горизонтально проецирующая плоскость _┴ следу Σ и проходящая через ось конуса - образующая П₁. Ближайшая точка – К: определяется вращением и проецированием на очерковую образующую К′, на фронтальной проекции проецированием и определением К₂. Дополнительные точки Е и F определяются с помощью образующих S₃ и S₄ и линий связи.

Пересечение поверхностей прямой линией  

Количество точек пересечения прямой с поверхностью зависит от сложности формы поверхности. При пересечении простых геометрических тел (призмы, цилиндра, шара и др.) прямой линией в общем случае получаем две точки: одна точка – точка входа, вторая – точка выхода. В общем случае для графического решения задачи по определению этих точек необходимо выполнить следующее: 1. Заключить данную прямую во вспомогательную плоскость (обычно проецирующую) 2. Построить фигуру сечения данной поверхности вспомогательной плоскостью 3. Определить точки пересечения данной прямой с построенной фигурой сечения   Построение точек пересечения линии с поверхностями при помощи проецирующих плоскостей В частном случае, когда поверхность, с которой пересекается прямая, занимает частное положение в пространстве, точки пересечения определяются непосредственно.   Дано: ABCDA′B′C′D′, a Найти: a ∩ ABCDA′B′C′D′ Решение: Так как, грани призмы _┴ П₁, т.е. занимают частное положение, следовательно, обладают собирательным свойством: точки пересечения граней AA′D′D и DD′C′C с прямой «a» будут проецироваться но следы-проекции A′₁=A₁, D₁=D′₁ и D₁=D′₁, C₁=C′₁ - a₁ ∩ A′₁=A₁, D′₁=M₁ M₂ - a₁ ∩ D₁=D′₁, C₁=C′₁=N₁ N₂ Следовательно M₁,N₁,M₂,N₂ - видимость   Дано: цилиндр, t Найти: t ∩ цилиндр Решение: Так как, боковая поверхность цилиндра _┴ П₁, следовательно, обладает собирательным свойством, то все точки пересечения прямой с поверхность цилиндра проецируются на след проекцию t₁∩ горизонтальной проекцией = A₁, B₁ à A₂B₂ à видимость.         Дано: тетраэдр SABC, m Найти: m ∩ SABC Решение: _1. m=Σ à m₂=Σ₂ 2. Σ ∩ SABC=1₂2₂3₂à1₁2₁3₁ 3. 1₁2₁3₁∩ m₁=K₁, L₁ à K₂, L₂ 4. Видимость   Дано: сфера, a Найти: a ∩ сфера Решение: 1. a=∆ à a₂=∆₂ 2. ∆₂ ∩ сферу = окружность R 3. Окружность R ∩ a₁=M₁, N₁ 4. M₁N₁à M₂N₂ 5. Видимость

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое многогранник?

2. Что называется телом вращения?

3. Что мы называем сечением?

4. Назовите способы построения сечения многогранника плоскостью.

5. В чем состоит последовательность построения фигуры сечения многогранника плоскостью общего положения?

6. В чем особенность построения сечения проецирующей плоскостью?

7. Какая фигура будет в сечении, если рассечь шестиугольную пирамиду плоскостью, параллельной ее основанию?

8. Как рассекается призма плоскостью, параллельной боковым ребрам призмы?

9. Как рассекается пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды?

10. Как строится кривая линия при пересечении тела вращения плоскостью?

11. Какие точки называются опорными или характерными?

12. Каким приемом пользуются в общем случае для нахождения этих точек?

13. Какие фигуры сечения дает цилиндр?

14. Какие фигуры сечения дает конус?

15. Как находятся точки пересечения прямой с поверхностью?

16. Какие вспомогательные плоскости применяются при определении точек пересечения поверхности тела прямыми линиями?

Дата добавления: 2014-01-03