И тригонометрических функций

Производная показательной, логарифмической

4.1. Пусть , где функция - дифференцируема, следовательно, непрерывна и (по определению непрерывности) при .

Для вычисления производной данной функции воспользуемся общим правилом дифференцирования.

Пусть получает произвольное приращение , тогда

.

Найдем:

Для вычисления полученного предела (неопределенность вида ) используем четвертый замечательный предел , получим

Итак: производная показательной функции равна произведению самой функции на логарифм основания и на производную показателя степени

.

В частности:

Пример. . .

4.2. Пусть , где функция дифференцируема, следовательно, непрерывна и (по определению непрерывности) при .

Для вычисления производной этой функции можно также воспользоваться общим правилом дифференцирования.

Дадим переменной , тогда получим приращение , а .

По определению производной

.

При вычислении воспользуемся третьим замечательным пределом: .

Тогда .

Итак:

В частности: ;

4.3. Пусть , где функция дифференцируема, следовательно, непрерывна тогда при .

Для вычисления производной данной функции воспользуемся общим правилом дифференцирования.

1) Пусть - произвольное приращение аргумента , тогда функции и также получат приращения.

2)

3) Найдем

Для вычисления полученного предела (неопределенность вида ) используем эквивалентность бесконечно малых , следовательно, при .

Тогда получим: .

Для простой функции

Аналогично, или используя формулу приведения, можно получить формулу производной функции .

4.4. Пусть . Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования частного.

.

Аналогично:

.

4.5. Пусть . Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования частного

.

Аналогично: .

Дата добавления: 2014-01-03