Свойства пределов, связанных с арифметическими действиями над числовыми последовательностями

Лекция 6. Свойства пределов, связанных с арифметическими действиями над числовыми последовательностями. Монотонные последовательности. Число е.

В то же время царь стал миротворцем. Россия при нем не воевала, он добивался смягчения противоречий между трудом и капиталом. Специальными указами ограничивался труд малолетних до 12 лет (1882 г.), а для надзора за соблюдением этого закона вводилась фабричная инспекция. Запрещался ночной труд женщин и детей (1885 г.), а в 1886 г.вышел указ об условиях найма рабочих и порядках расторжения трудовых договоров. Ограничивалась максимальная продолжительность рабочего дня -11,5 часов. При Александре I бюджет вырос в 2 раза, в 3 раза выросла протяженность железных дорог. Были открыты Большой театр, Русский музей, построена Транссибирская магистраль.

Лемма 1. Числовая последовательность { x_n } имеет конечный предел, равный числу а, тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой.

Д-во. Пусть заданы числовая последовательность { x_n } и число а. Если то условие согласно определению предела последовательности равносильно тому, что для любого существует такой номер n_e, что для всех номеров n>n_e выполняется неравенство , т.е. неравенство Это равносильно тому, что . Значит последовательность { a_n }– бесконечно малая.■

Рассмотрим свойства пределов числовых последовательностей.

1. Если последовательность { x_n } сходится, то сходится и последовательность {| x_n| }, причем, если , то .

Д-во. Если , то для любого существует такой номер n_e, что для всех номеров n>n_e выполняется неравенство . Поскольку , то выполняется неравенство , или, . ■

2. Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью, и ее предел равен такой же линейной комбинации пределов данных последовательностей.

Д-во. Пусть и . Тогда по лемме 1 члены последовательностей можно представить в следующем виде: и . Пусть теперь - некоторые действительные числа. Тогда члены последовательности представимы в виде . В силу свойства бесконечной малости линейной комбинации бесконечно малых последовательность - также бесконечно малая. Тогда по лемме 1 имеем .

Соответствующее утверждение длялюбой конечной линейнойкомбинации сходящихся последовательностей получается из доказанного методом математической индукции. ■

3. Предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению пределов данных последовательностей.

Д-во. Пусть и Тогда. и , где Рассмотрим .В силу свойств бесконечно малых последовательностей получаем . А это означает, в силу леммы, что . ■

4. Если последовательности и сходятся, для всех номеров n выполняется неравенство , то последовательность сходится, причем .

Д-во. Пусть и . Тогда. и , где По свойству 1 . Так как , то . Тогда по свойству 3 о пределах в неравенствах найдется такой номер n₀, что для всех номеров n>n₀, выполняется неравенство . Т.е. .

Рассмотрим . Здесь последовательность - ограничена, т.к. для всех n>n₀ выполняется неравенство . А последовательность - бесконечно малая как линейная комбинация бесконечно малых. Поэтому бесконечно малой является и последовательность как произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность. Это означает, что .■

Дата добавления: 2014-01-03