Спонтанные и вынужденные переходы. Коэффициенты Эйнштейна. Связь макроскопического показателя поглощения с коэффициентами Эйнштейна

Теория Бора позволяет рассчитывать энергии стационарных состояний водородоподобных атомов и ответить на вопрос о частотах или длинах волн электромагнитного излучения. Помимо частоты важной характеристикой излучения является интенсивность. В рамках корпускулярной модели интенсивность излучения на данной частоте v можно определить формулой

, (7.26)

где N – число фотонов, падающих за единицу времени на единичную нормально ориентированную площадку.

Ответа на вопрос: от чего зависит интенсивность излучения? теория Бора не дает. Этот вопрос был рассмотрен в 1916 году Эйнштейном. Рассмотрим основные элементы теории квантовых переходов Эйнштейна.

Пусть в изолированном от внешней среды объеме V находится N атомов вещества. Будем считать, что взаимодействие между атомами невелико и им можно пренебречь.

Каждый из N атомов может находиться в одном из n стационарных состояний с энергиями E₁, E₂, E₃, …En. При температуре 0^° К все атомы будут иметь минимальную энергию E₁ (энергию их основного состояния), а, следовательно, внутренняя энергия объема V вещества будет равна NE₁.

При температуре T > 0^° К в результате теплового движения при столкновениях часть атомов будет переходить в возбужденные состояния с энергией E > E₁. В таком случае в состоянии с энергией E₁ будет N₁ атомов, в состоянии с энергией E₂ – N₂ и т.д. Причем . Так как возбуждение атомов происходит в результате их теплового движения, то распределение атомов по уровням энергии должно подчиняться формуле Больцмана:

. (7.27)

Мы знаем, что всякое нагретое тело излучает электромагнитную энергию. Действительно, если атом в результате теплового движения увеличил запас своей внутренней энергии и оказался на уровне E_n > E₁, то он может самопроизвольно (спонтанно) возвратиться в свое основное состояние, испустив фотон. Причем при спонтанных квантовых переходах атомы могут переходить из уровня E_n не только на уровень E₁, но и на другие уровни E_m, m = 1, 2, …, n-1.

Число атомов, совершающих за время dt квантовые переходы из уровня E_n можно выразить так:

dZ_nm = A_nmN_ndt. (7.28)

За тот же промежуток времени будет испущена энергия

hndZ_nm = A_nmN_nhndt. (7.29)

Число испущенных фотонов будет равно убыли атомов с уровня E_n. Поэтому

dZ_nm = - dN_n = A_nmN_ndt. (7.30)

Откуда

, (7.31)

где – число атомов на уровне E_n в момент t = 0;

A_nm – коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, представляющей собой вероятность того, что атом за единицу времени совершит спонтанный переход.

Формула (7.31) представляет собой закон спонтанного распада уровней энергии.

Число атомов уменьшится в е раз за время

, (7.32)

это время называют средним временем жизни возбужденного состояния. С учетом (7.32) формула (7.31) примет вид:

, (7.33)

И аналогично для интенсивности излучения

. (7.34)

Рассмотрим процессы изменения внутренней энергии объема вещества, которые будут происходить под действием внешней электромагнитной волны. Пусть спектральная плотность падающей на вещество радиации r_n. Если длина волны падающей на вещество радиации такова, что выполняется условие частот Бора, то внутренняя энергия вещества может изменяться. Причем возможно как ее увеличение, так и уменьшение за счет квантовых переходов в атомах. Квантовые переходы в атомах, совершаемые под действием внешнего излучения называют вынужденными. Вынужденными могут быть как процессы поглощения падающей радиации, так и излучения. Причем первые всегда вынужденные и они приводят к увеличению внутренней энергии вещества. Вторые, наоборот, к уменьшению.

Поглощение характеризуют коэффициентом Эйнштейна B_mn (n > m), представляющим собой вероятность того, что атом совершит квантовый переход из m в n состояние при облучении его электромагнитной радиацией единичной спектральной плотности за единицу времени:

. (7.35)

Он численно равен числу атомов, совершающих квантовые переходы из уровня с энергией E_m на вышележащие за единицу времени в расчете на единицу спонтанной плотности падающей радиации, по отношению ко всем находящимся на данном уровне. Аналогично определяется коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения.

. (7.36)

Установим связь между макроскопической характеристикой поглощения – показателем поглощения и коэффициентами Эйнштейна B_mn и B_nm.

Согласно закону Бугера–Ламберта–Бера изменение интенсивности света при прохождении слоя вещества толщиной dx пропорционально толщине слоя:

, (7.37)

где c - показатель поглощения.

Теперь выразим данное изменение интенсивности через коэффициенты Эйнштейна.

Каждый акт положительного поглощения удаляет из потока один фотон с энергией hn. Если для объема V выбрать площадь сечения 1м², то изменение числа прошедших слой dx фотонов будет равно числу переходов

E_m ® E_n с поглощением.

dZ_nm = N_mB_mnr_ndx. (7.38)

Каждый акт отрицательного поглощения добавляет в поток один фотон вследствие вынужденного излучения. Изменение числа прошедших слой dx фотонов в этом случае будет равно числу переходов E_m ® E_n с вынужденным излучением.

dZ_nm = N_nB_nmr_ndx. (7.39)

Энергетический баланс будет равен

. (7.40)

Учитывая, что объемная плотность излучения в пучке

r_n = I_n / c, (7.41)

получим

(7.42)

Из сравнения формул (7.26) и (7.27) получим

. (7.43)

Для невырожденных уровней энергии B_mn = B_nm.

Поэтому

. (7.44)

В случае термодинамического равновесия в объеме распределения частиц по уровням подчиняется закону Больцмана.

Если n > m, то c > 0.

Для того чтобы получить c < 0 необходимо, чтобы на уровне с большей энергией было больше атомов, чем на уровне с меньшей энергией.

Дата добавления: 2014-01-03