Лекция № 8

Тема: рекуррентные соотношения

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение рекуррентного соотношения. Примеры.

2. Общие и частные решения рекуррентных соотношений.

3. Линейные рекуррентные соотношения.

Краткое содержание лекционного материала

1. Определение рекуррентного соотношения. Примеры. Рекуррентным соотношением (или рекуррентной формулой) называется соотношение вида

, (1)

где – функция, с помощью которой можно вычислить все члены последовательности с заданными первыми элементами .

Последовательность , получаемая с помощью соотношения (1), называется рекуррентной (recurrere (лат.) – возвращаться).

Примеры. 1) Соотношение определяет арифметическую прогрессию с разностью и с начальным членом a .

2) Соотношение a_{n +1}= a_n × q определяет геометрическую прогрессию со знаменателем q ¹0 и с начальным членом a ₀.

3) Соотношение a_{n +2}= a_n + a_{n +1} с начальными элементами a ₀= a ₁=1 задает последовательность Фибоначчи.

В 1202 году Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи – сын Боначчи, написал сочинение «Liber abacci», в котором была задача: «Предположим, что через месяц от одной пары кроликов порождает еще одна пара кроликов, а рождают кролики со второго месяца рождения. Имеется одна пара кроликов. Сколько пар кроликов будет через один год?»

Число новорожденных пар равно числу кроликов два месяца назад (a_n). Чтобы получить число кроликов в этом месяце (a_{n +2}), надо к этому числу прибавить число кроликов месяц назад (a_{n +1}). Следовательно, последовательность чисел пар кроликов по месяцам определяется соотношением a_{n +2}= a_n + a_{n +1} с начальными элементами a ₀=1 и a ₁=1.

Месяц

Число пар кроликов через месяц

Дата добавления: 2014-01-03