Смешанные стратегии

Смешанная стратегия игрока рассматривается как полный набор чистых стратегий, применяемых с заданными вероятностями в игре, многократно повторяемой в одних и тех же условиях.

Смешанная стратегия игрока А заключается в применении чистых стратегий А₁, А₂, …, А_m с вероятностями соответственно р₁, р₂, …, р_m и обозначается

, где сумма вероятностей и .

Смешанная стратегия игрока В заключается в применении чистых стратегий В₁, В₂, …, В_n с вероятностями соответственно q₁, q₂, …, q_n и обозначается

, где сумма вероятностей и .

В частном случае, когда некоторое р_i = 1 и q_j = 1, а остальные вероятности в наборах равны нулю, смешанные стратегии сводятся к чистым стратегиям. Иными словами, чистую стратегию можно рассматривать как частный случай смешанной, в наборе которой вероятность чистой стратегии равна 1.

При применении чистых стратегий А_i и В_j выигрыш игрока А определяется соответствующим элементом платежной матрицы a_ij. Если смешанные стратегии применяет только игрок А с вероятностями р_i, а игрок В придерживается чистой стратегии В_j, то средний выигрыш подсчитывается как математическое ожидание всех чистых стратегий формуле .

Средний выигрыш при использовании обоими игроками смешанных стратегий с вероятностями р_i и q_j является их функцией – математическим ожиданием чистых стратегий в обоих наборах:

.

Функция f(p,q) называется платежной функцией игры с матрицей |a_ij |m ´ n. В частном случае, когда некоторое р_i = 1 и q_j = 1, а остальные вероятности в наборах равны нулю, смешанные стратегии сводятся к соответствующей единственной чистой стратегии и платежная функция определяется a_ij – единственным слагаемым в сумме, то есть как выигрыш при чистой стратегии.

Дата добавления: 2014-01-03