Метод наибольшего правдоподобия

Значения вычисленных параметров θ_i и β_j могут измениться на других выборках испытуемых. При больших объемах выборки можно вычислить значения θ_i^’ и β_j^’, к которым в результате итерационной процедуры, будут стремиться θ_i и β_j.

Обычно итерационная процедура выполняется методом наибольшего правдоподобия Р.Фишера.

Можно показать, что функция правдоподобия имеет вид

где α_ij - элементы бинарной матрицы результатов тестирования.

В качестве оценок наибольшего правдоподобия θ_i^’ и β_j^’. принимают такие значения θ_i и β_j, при которых функция правдоподобия достигает глобального максимума. Поскольку функции L и ln L достигают максимума при одних и тех же значениях своих аргументов, то удобно искать максимум функции ln L, называемой логарифмической функцией правдоподобия

Для нахождения максимума логарифмической функции правдоподобия надо найти частные производные функции по каждому ее аргументу и приравнять нулю.

В результате получается система уравнений правдоподобия. Эта система уравнений решается в итерационном цикле путем последовательной подстановки найденных значений аргументов в качестве исходных.

Цикл прерывается, когда различие в аргументах не станет меньше наперед заданной величины. Система уравнений правдоподобия нелинейна и для организации итерационного цикла требует применения вычислительной техники.

Результаты вычислений для нашего примера приведены в таблицах 8 и 9 (четвертый столбец).

Таблица 8. Расчетные параметры для уровня подготовленности испытуемых

i	θi	SE(θi)	θi^’
	3,955	2,043	2,436
	2,335	1,560	1,365
	2,335	1,560	1,365
	2,335	1,560	0,523
	0,236	1,351	-0,157
	-0,740	1,396	-0,781
	-1,863	1,560	-1,431
	-1,863	1,560	-1,431
	-3,483	2,043	-2,217
	-3,483	2,043	-2,217

Таблица 9. Расчетные параметры для трудности заданий теста

j	βj	SE(βj)	βj^’
	-2,071	1,576	-1,545
	-2,071	1,576	-1,669
	-1,062	1,474	-0,603
	-0,136	1,445	-0,502
	-0,136	1,445	-0,256
	0,790	1,474	0,102
	3,030	1,806	1,854
	4,882	2,408	2,620

Видно, что данные во втором и четвертом столбцах заметно различаются. Это связано с тем, что наша модельная выборка недопустимо мала. При больших выборках это различие невелико.

Кроме метода наибольшего правдоподобия существуют и другие методы нахождения устойчивых оценок латентных параметров.

Дата добавления: 2014-01-03