Определение понятия. Виды определений

Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие — значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия — это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию.

Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в

них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое, будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» — дескрипция числа я).

Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст.

Номинальные и реальные определения. Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется — знаковое выражение "(термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С помощью номинальных определений вводят новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов,*или уточняется значение уже введенного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выражений «Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что х² = а».

С помощью реальных определений фиксируются характеристиче­ские свойства самих определяемых объектов. Деление определений на номинальные и реальные не связано с их формальной структурой. Одно и то же определение можно представить и как номинальное, и как реальное. Например, пусть дано реальное определение: «Пятиугольник есть плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами». Это же определение можно переформулировать как номинальное: «Пятиугольником называется плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами».

Контекстуальные и индуктивные определения. В математике начальных классов часто применяются контекстуальные определения —такие определения нового неизвестного термина, понятия, которые выясняются из смысла прочитанного, сводятся к указанию содержащих его контекстов («больше», «меньше», «равно»).

Индуктивными называются определения, которые позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных операций получать новые объекты. Например, по индукции вводится определение натурального числа в математике.

Аксиоматические определения. Определения исходных понятий, которые даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, — это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются

неопределенными, например, точка, плоскость и расстояние в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства.

Определения через род и видовые отличия. Это классические определения, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), пу­тем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат — прямоугольник с равными сторонами»; «Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны»; «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Общая схема определения через ближайший род и видовое отличие может быть записана на языке множеств (классов):

В = {х/хеАиР(х)}

(класс В состоит из объектов х, принадлежащих А — ближайшему роду и обладающих свойством Р — видовое отличие) или на языке свойств:

хе В<=>хе АиР(х), или В (х) <=» А (х) и Р(х)

(объект х обладает свойством В тогда и только тогда, когда он обла­дает свойством А и свойством Р).

В школьном курсе математики через род и видовое отличие определяются: Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектриса угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и параллельные прямые.

Генетические определения. Это такие определения, в которых описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия. Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением по­луокружности вокруг своего диаметра»; «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра».

В школьном курсе математики можно выделить следующие генетические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний треугольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга.

Определение через абстракцию. Такое название получили определения, связанные с выделением объектов через установление между ними отношений равенства, равнозначности, тождества. В определении через абстракцию математическое понятие определяется как семейство классов эквивалентности по некоторому отношению эквивалентности. Например, натуральное число п — это характеристика класса эквивалентных конечных множеств, состоящих из п элементов.

Остенсивные определения. Это определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия — это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением.

Определение считается корректным, если выполняются два условия:

1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»);

2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.

Дата добавления: 2014-01-03