Исследование функции на выпуклость и точки перегиба

Определение. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке (а;в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого интервала.

Определение . Кривая называется выпуклой вниз в промежутке (а;в), если она лежит выше касательной в любой точке этого интервала.

у у

а в х а в х

(выпуклая вниз) (выпуклая вверх)

Признак выпуклости функции.

Если вторая производная данной функции в некотором промежутке положительна, т.е. f′′(x)>0, то функция в этом промежутке выпукла вниз.

Если вторая производная данной функции в некотором промежутке отрицательна, т.е. f′′(x)<0, то функция в этом промежутке выпукла вверх.

Определение. Точки, в которых выпуклость меняет направление, называются точками перегиба.

Признак точки перегиба функции.

Если при переходе через стационарную точку х₀ вторая производная f′′(x) данной функции меняет знак, то функция в этой точке х₀ имеет точку перегиба.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.

Образец решения.

1.Найти Д(f). 2. Найти f ′(x). 3. Найти f ′′(x). 4. Найти стационарные точки. 5. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 6. Определить знаки второй производной в каждом из интервалов. 7. Применить признаки. 8. Найти ут.п. 9. Записать ответ.

у = х^3 – 3х^2 1. Д(у)= R,т.к. многочлен. 2. f ′(x)=3х^2-6х. 3. f ′′(x)= 6х-6. 4.. f ′′(x)= 0: f ′′(x)не существует: 6х-6=0, нет таких х. 6х=6, х=1. 5. f ′ ′(x) - + 1 6. f ′′(0)=6 ۰ 0 -6 = -6 - f ′′(2) =6 ۰ 2-6 = 6 + 7. На (-∞;1) выпукла вверх, т.к. f′′(x)>0 На (1;+ ∞) выпукла вниз,т.к.f′′(x)<0 хm.п =1, т. к. f′′(x)меняет знак. 8. уm.п.=1 ^3 – 3 ۰ 1^2 = -2. 9. Ответ. (1;-2)-точка перегиба. (-∞;1) выпукла вверх (1;+ ∞) выпукла вниз

Закрепи свои знания, выполнив следующие задания:

Пример1: Найти стационарные точки:

На занятии	На дом
у = х^4 – 4х^3 – 8х^2 + 1	у = х/3 + 12/х

Пример 2: Найти интервалы монотонности:

На занятии	На дом
1.у = х^2 – 8х + 12; 2. у = х^3 +5	1.у = х^2 – 6х + 5; 2. у = - 2 х^3

Пример 3: Исследовать на экстремум функции:

На занятии	На дом
у = х^3 – х^4	у = 2х^3 - 9х^2 +12х

Пример 4: Исследовать на выпуклость (вогнутость)функции:

На занятии	На дом
у = – х^2 - 1	у = х^2 +3х - 1

Пример5: Найти точки перегиба функции:

На занятии	На дом
у = х^3 + 3х^2	у = х^4 +3х^2

Дата добавления: 2014-01-03