Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Второе правило исследования на экстремум




Правило исследования функции на экстремум

 

1. Найти область определения функции.

2. Найти критические точки.

3. Найти интервалы монотонной функции.

4. Определить знак производной в этих интервалах и вид экстремума, если он есть.

В некоторых случаях при исследовании на экстремум удобно использовать признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

 

Т.4.1 Пусть в точке первая производная , а вторая производная существует и отлична от нуля . Тогда, если , то в точке функция имеет ; если же , то в точке -.

 

Доказательство

Пусть для определенности . Покажем, что в точке -. На основании второй производной:

;

т.к. по условию , то

 

Учитывая, что , получим

Так как, предел меньше нуля, то для малых по абсолютной величине значений выполняется неравенство .

Пусть , тогда ,

, тогда .

Это показывает, что при переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, на основании достаточного признака существования экстремума функция имеет в точке -.

Аналогично доказывается для .

 

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Найдем критические точки

Найдем вторую производную и вычислим ее значение в критических точках

 

Правило. Чтобы исследовать функцию с помощью второй производной нужно:

1. найти ;

2. найти первую производную и критические точки, лежащие в области определения ;

3. найти ;

4. найти значения второй производной в критических точках, и если , то то .

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 208; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.81.152.30
Генерация страницы за: 0.09 сек.