КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула Тейлора
Предположим, что функция имеет все производные до порядка в некотором промежутке, содержащем точку a. Из определения дифференцируемости функции имеем , где - бесконечно малая функция. Возьмем в этом выражении x за a, и запишем в виде . Т.к. , то . Если пренебречь - бесконечно малой функцией, то получим формулу для приближенного вычисления функции . В правой части стоит многочлен первой степени по степеням . Очевидно, что этот многочлен близок к и совпадает с функцией в точке . Найдем аналогичный полином n- ой степени и оценим, на сколько он отличается от . Предположим, что , где остаточный член, показывающий отличие от многочлена ой степени в правой части формулы. Определяем коэффициенты этого многочлена. Полагаем . Тогда при выполнении условия . Дифференцируем эту функцию поочередно раз, тогда , , , , ………………………………. . Подсчитаем вычисленные производные при . При выполнении условий из формулы для первой производной имеем , из формулы для второй производной следует , формула для третьей и четвертой производных приводит к , ,… . Подставляем полученные коэффициенты в формулу, в результате . Проанализируем, что следует из условий, налагаемых на остаточный член. Из условия следует, что , то есть бесконечно малая при . Поскольку , где , , следовательно, при бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем . Совершая аналогичную процедуру с остальными условиями на производные остаточного члена, выясняем, что в вышеприведенной формуле остаточный член при является бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем . Тогда . Такое представление остаточного члена показывает, что остаточный член есть бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем .
Полученная формула используется для приближенного вычисления значения функции с помощью полинома. Имеется несколько вариантов остаточных членов, более приспособленных для установления количества сохраняемых в формуле членов, обеспечивающих наперед заданную точность приближенного вычисления (аппроксимации) функции. Сведения о них имеются в литературе, указанной в списке. Приведем лишь остаточный член в форме Лагранжа , где . Широко используется частный случай формулы Тейлора – формула Маклорена , представляющая разложение функции в окрестности нулевой точки. Так же формулу Тейлора можно записать через дифференциалы: . Пример 1. Рассмотрим функцию . Нетрудно заметить, что любая производная этой функции равна самой функции, а . В соответствии с формулой Маклорена . Пример 2. Рассмотрим функцию . Очевидно, и т.д. Тогда и т. д. Первые члены формулы Маклорена принимают вид Анализируя первые члены разложения, записываем его общий член . В результате .
Пример 3. Получим разложение по формуле Маклорена функции , . Очевидно В соответствии с формулой Маклорена получаем . Замечание. Суммирование в формулах Маклорена для начинается с , при этом считается . Приложения производной функции
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 424; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |