Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема о возрастании (убывании) функции на интервале




Необходимое условие возрастания (убывания) функции на интервале: Если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает (убывает) на этом отрезке, то ее производная () на этом отрезке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале: Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем () для , то эта функция возрастает (убывает) на этом отрезке.

Доказательство легко получается применением теоремы Лагранжа.

Определение 1. Функция в точке имеет максимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 2. Функция в точке имеет минимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции. Необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке функции является .

Доказательство. Пусть точка - точка максимума, тогда при подходе к этой точке слева она возрастает и , после прохождения этой точки функция убывает и , следовательно, производная существует в точке и меняет знак при переходе через нее. Ясно, что .

Но необходимое условие не является достаточным условием экстремума. Например, если , то при , но точка не является точкой экстремума.

Теорема 1 о достаточном условии существования максимума и минимума функции.

Если производная функции при переходе через точку меняет знак с + на –, это точка максимума. Если знак производной меняется с – на +, имеем точку минимума. Доказательство следует из теоремы о возрастании (убывании) функции.

 

Теорема 2 о достаточном условии существования максимума и минимума функции. Пусть , тогда при функция имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство.

Из формулы Тейлора в окрестности точки экстремума , в которой удержано три первых члена, имеем

.

Поскольку , что следует из условия теоремы, а остаточный член по определению меньше предыдущего члена формулы, знак приращения функции независимо от того, точка находится левее, или правее , определяется знаком второй производной. Когда , получаем , следовательно, - точка минимума функции, если , значит , тогда - точка максимума функции.

Пример. . .

. В точке 0 экстремума нет.

. В точке 3 минимум функции.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1218; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.