Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Лекция 8

Определение 4. Функция называется выпуклой на интервале

, если точки касательных к функции на этом интервале расположены выше точек функции.

Определение 5. Функция называется вогнутой на интервале

, если точки касательных к функции на этом интервале расположены ниже точек функции.

Выпуклая функция Вогнутая функция

Определение 6. Точки, в которых выпуклость переходит в вогнутость, или наоборот, называются точками перегиба функции.

Теорема. Необходимым условием точки перегиба является равенство нулю в ней второй производной.

Теорема. Достаточным условием выпуклости функции на интервале является . Достаточным условием вогнутости функции на интервале является .

Для доказательства теоремы запишем уравнение касательной к кривой в точке : . Вспомним также формулу Тейлора, которую представим следующим образом

.

Вычитаем эту формулу из формулы касательной, тогда

,

где ординаты точек касательной. Знак правой части определяется первым ее членом, поскольку остаточный член в окрестности мал по сравнению с основным членом, таким образом. При условии разность между значением касательной и функции отрицательна, следовательно, точки касательной лежат выше точек кривой, и функция выпуклая. Перебирая различные точки интервала , убеждаемся, что первая часть теоремы доказана. Аналогично доказывается вогнутость кривой.

Теорема. Если и при переходе через нее вторая производная меняет знак, эта точка – точка перегиба.

Пример. . .

, точка перегиба, в которой вогнутость переходит в выпуклость,

, не точка перегиба.

Дата добавления: 2014-01-03