Нелинейная резистивная цепь

Алгебраическая сумма задающих напряжений равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах.

Последняя формулировка наиболее наглядно отражает смысл закона напряжений Кирхгофа как частной формулировки закона сохранения энергии.

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, объединяют под названием структурных или топологических уравнений цепи.

Уравнения элементов – компонентные.

Режим сложных цепей описывают системами уравнений Кирхгофа.

Для обсуждения приемов рационального составления систем уравнений обратимся к конкретному примеру.

Представим схему замещения цепи из одних только резисторов, в том числе идеальных источников. Такие цепи называют резистивными. Если в цепи есть нелинейные элементы, её называют нелинейной.

R₁

j

i ₁

e

u_j

i_e

i₅

u₅(i₅)

i ₃

R₃

i ₂

u₂(i₂)

Необходимо решить задачу полного анализа режима цепи, т.е. нужно найти силы токов всех ветвей и напряжения всех элементов. Договоримся определять в первую очередь силы токов пассивных элементов { i₁, i₂, i₃, i₅ }.

Для получения однозначных решений – значений сил токов – необходимо составить систему из минимального числа линейно независимых уравнений цепи.

Доказано, что линейно независимыми являются уравнения всех узлов цепи, за исключением одного. Этот «лишний» узел, который называют базисным (или базисом ) можно выбрать произвольно. Этот выбор отмечают на схеме цепи знаком заземления «^».

Соответственно, гарантируется линейная независимость контурных уравнений, если контуры цепи представляют собой систему ячеек, т.е. контуров, находящихся рядом и не охватывающих друг друга.

Так как электрический режим идеальных источников относительно независим от режима остальной цепи, его описывают отдельно после нахождения значений процессов в пассивных элементах. Чтобы не составлять «лишние» уравнения для описания режима источников, их считают подавленными. Иными словами, заменяют идеальный источник напряжения идеальным проводником, совмещая тем самым его узлы в один. Источник тока при расчете считают идеальным изолятором.

При подавлении источников считают, что источники тока не образуют контуров, а источники напряжения не входят в звезды элементов вокруг узлов цепи.

Переходим к расчету.

Для составления системы узловых уравнений выберем базисный узел. Удобно считать, что это узел с номером 0. Отметим это знаком «^». Так как между базисным узлом 0 и узлом 1 имеется идеальный источник напряжения, считаемый подавленным, полагаем, что узел 0 и 1 соединены идеальным проводником, т.е. составляют один узел 0,1. Тогда систему независимых узлов составят узлы 2 и 3.

: - i₁ + i₂ + i₃ = 0

: - i₃ – i₅ = j

Для составления контурных уравнений выбираем систему независимых контуров как соседних ячеек. Это два контура. Один из них получается при обходе многоугольника из элементов e, R ₁ и резистора с ВАХ. Второй контур получается при обходе многоугольника { R ₁, u₅(i ₅ ), R ₃}. Многоугольник с источником тока j контура не образует, т.к. подавленный источник тока есть разрыв цепи. Выбранные ячейки нумеруем и выбираем для них направление обхода, которые указываем дополнительными стрелками.

Для выбранных ячеек и направлений их обхода получаем уравнения:

1)

2)

При записи этих уравнений мы отождествили направления отсчета напряжений и токов элементов, а также воспользовались уравнениями элементов, чтобы получилась единая система уравнений относительно сил искомых токов.

Итак, получилась единая система из четырех уравнений для нахождения четырех сил токов.

Для исследования режима идеальных источников составим дополнительные уравнения.

По ЗТК -i_e + i₁ + i₅ = 0 Þ i_e = i₁ + i₅

По ЗНК u_j +R₃i₃ – u₂ = 0 Þ u_j = u₂ - R₃i₃ =

На этом исследование полного режима цепи закончено.

Как видно из результатов приведенного примера, уравнения резистивной цепи – алгебраические, линейные или нелинейные.

Дата добавления: 2014-01-03