Включение источника постоянного напряжения на линейную последовательную резистивно-индуктивно-ёмкостную цепь

Общие положения

Урок 9. Переходный режим линейных динамических цепей второго порядка

Лекция 5

Цепи второго порядка содержат два энергоемких элемента разного типа с независимыми режимами. Их переходный режим описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, с правой частью.

Решение таких уравнений с равной нулю правой частью – свободная составляющая процессов – есть взвешенная сумма двух экспонент.

Для упрощения расчета принужденной составляющей ограничимся рассмотрением варианта включения в цепь источника постоянного напряжения. В качестве цепи второго порядка примем последовательную цепь из линейных резистора, индуктора и конденсатора.

u_с

i

Е

R

С

t=0

S

+

-

+

-

L

Примем напряжение источника равным Е. Обозначим начальное напряжение предварительно заряженного конденсатора как u_c(0) = U.

Определим в переходном режиме мгновенные значения силы тока цепи i и ёмкостного напряжения u_c.

Согласно закону напряжений Кирхгофа

Сначала составим уравнение для нахождения силы тока. Для этого подставим в записанное уравнение уравнения элементов.

Тогда получим уравнение:

Это интегро-дифференциальное уравнение.

Для получения дифференциального уравнения цепи продифференцируем исходное уравнение и разделим все его члены на индуктивность L.

Тогда будем иметь:

Получилось линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Значит, решение уравнения содержит только свободную составляющую. Принужденная составляющая тока отсутствует, т.к. принужденный ток в этой цепи есть ток установившегося режима.

В установившемся режиме, когда t ® ¥, конденсатор подзаряжается до напряжения источника Е. Поэтому при наличии в цепи двух источников равных, но противоположных напряжений ток должен отсутствовать. Итак, i_y = 0 и

Постоянные А₁ и А₂ определяются из начальных условий задачи, а именно u_c(0) = U и i (0) = 0. Начальный ток в цепи i (0) равен нулю, т.к. в цепи имеется индуктор. Согласно закону коммутации, если до коммутации в цепи ток отсутствует, то, вследствие непрерывности функции индуктивного тока, этот ток должен отсутствовать и в момент коммутации.

Постоянные p₁ и p₂ , называемые собственными частотами цепи, находят путем подстановки общего решения в дифференциальное уравнение. При этом оказывается, что эти постоянные есть решения алгебраического уравнения, полученного из дифференциального уравнения цепи путем замены символа дифференцирования на переменную p, т.е.

Это уравнение называют характеристическим.

Для нашего примера характеристическое уравнение цепи:

Решения этого уравнения, т.е. собственные частоты:

называют коэффициентом затухания,

где – частота осцилляций.

С учетом новых обозначений

После нахождения значений постоянных А₁ и А₂ из начальных условий задачи получается результат:

Так как разность собственных частот

получаем окончательно

Из представленной формулы видно, что характер переходного режима существенно зависит от соотношения между коэффициентом затухания d и частотой осцилляции w₀. Поэтому рассмотрим частные случаи для разных вариантов этого соотношения.

1. Случай большого затухания, когда d > w₀.

При этом собственные частоты есть отрицательные числа, причем |p₂| > |p₁|.

Построим график силы тока в цепи, учитывая, что сила тока состоит из двух убывающих экспонент – "медленной" положительной с показателем p₁ и "быстрой" отрицательной с показателем p₂, имеющих одинаковые начальные уровни. Примем условие E > U.

t

E > U

i(t)

Как видно, сила тока не меняет своего направления и имеет максимум.

Построим ещё график ёмкостного напряжения, учитывая, что:

Интегрируя предыдущий график, с учетом начального условия u_c(0) = U, получаем зависимость u_c(t).

Для случая, когда U < E.

t

U

Е

Значит, конденсатор подзаряжается от начального напряжения U до напряжения источника Е. При этом ёмкостное напряжение монотонно возрастает. Точка перегиба зависимости u_c(t) соответствует максимуму тока цепи i(t).

Рассматриваемый режим, когда рассматриваемые процессы (переменные состояния) не меняют своего направления с течением времени, называют апериодическим.

2. Случай малого затухания, когда d < w₀.

В случае малого затухания собственные частоты оказываются комплексными числами вида:

Здесь – мнимая единица.

Обозначим выражение как w_св и назовем частотой свободных колебаний.

Тогда

и

Подставив собственные частоты в общую формулу получим следующее выражение для силы тока:

Это гармоничное колебание с экспоненциально изменяющейся амплитудой.

Вычислим емкостное напряжение.

Это тоже гармоническое колебание с экспоненциально изменяющейся амплитудой. Начальная фаза его равна.

В отличие от силы тока емкостное напряжение имеет принужденную составляющую:

u_{с пр} = u_су = Е.

Изобразим графики силы тока и емкостного напряжения.

Рассматриваемый режим и процессы при нем называют колебательными. В частности, наблюдается колебательный заряд конденсатора от исходного напряжения U до напряжения источника Е.

Опишем параметры рассматриваемых колебательных процессов. Это период колебаний, а также относительная скорость снижения амплитуды d, т.е. коэффициент затухания.

Кроме того, для этого вводят декремент колебания.

который есть отношение соседних амплитуд процесса через период, и логарифмический декремент

3. Случай, когда d = w₀.

В случае, когда d = w₀ имеем критический режим. В этом режиме графики процессов такие же, как для апериодического режима.

4. Случай, когда d = 0.

В случае, когда d =0 и w_св = w₀, т.е. r = 0 и отсутствуют потери в цепи, наблюдаются незатухающие гармонические колебания вида:

и

Как видно из этих формул, частота осцилляции есть частота гармонических незатухающих колебаний в цепи второго порядка без потерь.

Соответственно, параметр

называемый характеристическим сопротивлением цепи, есть сопротивление гармоническому току цепи без потерь.

Введем для цепей второго порядка ещё один важный параметр. Отношение

называют добротностью цепи.

Добротность Q связана с коэффициентом затухания d и частотой осцилляции соотношением:

Действительно

При апериодическом режиме, когда d > w₀,.

В колебательном режиме.

Дата добавления: 2014-01-03