Составление уравнения состояния

Изобразим схему линейной динамической цепи:

R

j(t)

e(t)

u _c

L

С

G

i _L

i _g

На схеме имеется последовательный резистор с сопротивлением R и резистор, параллельный конденсатору, с проводимостью G.

Вообще говоря,.

Выберем в качестве искомых переменных силу индуктивного тока i_L и емкостное напряжение u_c. Отметим этот выбор на схеме с указанием направления отсчета этих процессов. Укажем также направление тока i_g.

Составим систему уравнений цепи по законам Кирхгофа. В качестве независимого узла выберем узел 1. Как независимые контуры выберем соседние ячейки 1 и 2. Тогда получим следующую систему уравнений:

Выразим все слагаемые в левых частях этих уравнений через переменные состояния i_L и u_c. Учтем, что из уравнения 2) и

Тогда получаем систему:

Преобразуем полученное уравнение. Разрешим уравнение относительно производных и упорядочим таким образом, чтобы первой по строкам и столбцам была сила индуктивного тока.

Это и есть уравнения состояния. Каждое из них есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Число уравнений состояния равно порядку цепи, т.е. числу энергоемких элементов с независимыми режимами.

Уравнения состояния могут быть составлены непосредственно по схеме цепи, пропуская этап составления уравнения Кирхгофа.

Для этого разработаны специальные достаточно простые методики.

При непосредственной записи уравнения состояния по схеме цепи учитывают, что в их левой части представлены либо напряжение индуктора, либо сила тока конденсатора. Поэтому, при построении уравнений состояния или ищут напряжения индукторов в контурах цепи, или ищут силы тока конденсаторов, подключенных к её узлам. При этом значения переменных состояния i_L и u_c считают заданными. Энергоемкие элементы считают нагрузками, т.е. для них отождествляют направления напряжения и силы тока.

Например, составим для нашего примера первое из уравнений состояния с производной.

Для этого выделим левый контур цепи.

R

e(t)

u _c

L

С

i _L

u _L=?

Считая известными индуктивный ток i_L и емкостное напряжение u_c, найдем напряжение индуктора u_L из контурного уравнения:

Примем, что направления напряжения u_L совпадает с ранее заданным направлением силы тока i_L. Тогда:

или

.

Правая часть этой записи совпадает с правой частью первого уравнения состояния.

Для составления второго уравнения с производной рассмотрим режим узла 1 исходной цепи, считая известными процессы i_L и u_c..

i_L

j(t)

L

i_c =?

u_c

C

Ищем емкостной ток, считая, что конденсатор заряжается. Составим узловое уравнение.

Правая часть этой записи совпадает с правой частью второго уравнения состояния.

Существуют простые и достаточно отработанные алгоритмы решения систем из таких уравнений, когда они представляются в так называемой нормальной форме.

Для перехода к нормальной форме в каждом уравнении все его члены делят на коэффициент при первой производной (т.е. на L или С).

Для нашего примера система уравнений состояния в нормальной форме:

Для решения систем уравнений состояния и получения общих алгоритмов решения, выявления общих закономерностей построения уравнений удобно перейти к их матричной записи.

Дата добавления: 2014-01-03