Способы описания хар-к НЭ

Сопротивление нелинейного двухполюсника

R = U₀/I­­₀ = const – сопротивление постоянному току;

ΔU – переменное напряжение.

Через НЭ потечёт переменный ток ΔI.

R_диф = ΔU/ΔI;

i = I₀ + - это диф. сопротивление;

R_диф = 1/(i’(U₀)).

Величина обратная диф. сопротивлению называется диф. крутизной.

S_диф = 1/R_диф = Δi/Δu = i’(U₀);

Δi = S_дифΔu.

Как правило, ВАХи НЭ удаётся экспериментальным (опытным) путём в виде таблицы значений, которая подходит для численного метода расчёта. Для аналитического расчёта надо к реальной ВАХ подобрать аппроксимирующую функцию, которая с заданной точностью отражала бы её особенности.

В радиотехнике используют следующие виды аппроксимации ВАХ НЭ:

1. Степенная – применяется при малых амплитудах (доли вольта) входных сигналов, т.е. в тех случаях, когда появляется нелинейность (изгиб) ВАХ. В качестве аппроксимирующей функции используется степенной полином в виде ряда Тейлора:
i(u) = a₀ + a₁(u-U₀)+a₂(u-U₀)²+ … + a_n(u-U₀)ⁿ,
где a₀ … a_n – постоянные коэффициенты.
a_n = (1/n!).
U₀ – значение напряжения, относительно которого идёт разложение в ряд (рабочая точка, напряжение смещения).
В зависимости от числа слагаемых ряда Тейлора получается разная точность аппроксимации. На практике требуемая точность достигается полиномом не выше 2ой или 3ей степени
Алгоритм нахождения коэффициента ряда
1. Для нахождения ряда Тейлора надо задать диапазон из нескольких возможных значений входного напряжения U₁, U₂, U_n и положение рабочей точки U₀. Для того чтобы определить n-коэффициентов ряда надо взять n+1 значений напряжений и по ним (по ВАХ) определить соответствующие значения тока.
2. Составить систему из n+1 уравнений и решить их относительно коэффициентов a_n.
Пример. Для заданной ВАХ БП-транзистора КТ601А выполнить аппроксимацию рядом Тейлора второй степени в диапазоне напряжений 0,5-0,8 В относительно рабочей точки U₀ = 0,6 В.

0,1 = a₀ + a₁(0,4 – 0,6) + a₂(0,4 – 0,6)²
0,5 = a₀ + a₁(0,6 – 0,6) + a₂(0,6 – 0,6)²
1,5 = a₀ + a₁(0,8 – 0,6) + a₂(0,8 – 0,6)²
i(u) = 0,5 + 3,5(u-0,6) + 7,5(u-0,6)².

2. Кусочно-линейная – т.е. используется в режиме больших входных сигналов при работе с отсечкой, в данном случае реальную ВАХ аппроксимируют с помощью нескольких отрезков прямых линий с различными углами наклона к оси абсцисс.

Данная аппроксимация определяется 2умя параметрами: U_Н – напряжение начала хар-ки, S – крутизна.
S = Δi/Δu;
Δi = SΔu.
Матем. модель такой характеристики имеет вид:
i=.
Для большей точности можно выполнить аппроксимацию несколькими линиями.

3. Показательная

2012-04-21

Дана экспериментальная ВАХ транзистора КТ601А. Необходимо выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной хар-ки в окрестности рабочей точки U₀ = 0,6 В.

Пусть ΔU = 0,8-0,6 = 0,2 В, тогда Δi = 1,5-0,5 = 1 мА; S = 1/0,2 = 5 (мА)/В.

Тогда ток базы будет равен:

i_б = 0,5 + 5(­– E_н) = 0,5 + 5(U_вх – 0,5) = 5 (U_вх – 0,5)

Из последней формулы следует, что при U_вх (U_бэ) < 0,5 В (Е_{начальное}) ток базы принимает отрицательные значения, а это не отражает заданная хар-ка. Она аппроксимирует исходную ВАХ при U_вх ≥ 0,5 В, а при U_вх < 0,5 В ток базы примем равным 0.

Расчёт спектра тока на выходе нелинейного элемента при степенной аппроксимации его ВАХ

Вследствие нелинейности ВАХ нелинейного элемента на подаче на его вход синусоидального колебания форма тока на выходе будет несинусоидальным. Причина этого следующая: поскольку ток и напряжение НЭ связаны зависимостью Δi = SΔu, а крутизна S на разных участках неодинаковая (имеет нелинейный характер), то равные приращения Δu отвечают неравные приращения Δi.

Т.к. ток на выходе является периодической функцией, его можно разложить в ряд Фурье.

Пусть ВАХ НЭ аппроксимирована полиномом Тейлора вида i(u) = a₀+a₁(u-u₀)+a₂(u-u₀)²+a₃(u-u₀)³+… (1). Подадим на вход суммарное напряжение источников смещения и входного гармонического сигнала U_вх(t) = U₀ + U_mcos ωt (2). Рассчитаем спектр тока на выходе НЭ.

cos²x = ½ (1+ cos 2x)

cos³x = ¼ (3cosx+cos3x)

cos⁴x = (1/8) (3+4cos2x + cos 4x)

Подставим U_вх (2) в (1). Используя известные тригонометрические соотношения, сгруппировав отдельно в суммы постоянные составляющие и все члены с косинусами с одинаковыми аргументами, получим:

i(u) = a₀ + a₁U_mcosωt + a₂U_m²cos²ωt;

i(u) = I₀ + I₁ + I₂ + I₃ + … = (a₀+ ½ a₂U_m²+ 3/8 a₄U_m⁴) + (a₁U_m + ¾ a₃U_m³ + (5/8) a₅U_m⁵)∙cos ωt +
(½ a₂U_m² + (1/8) a₄U_m⁴) cos 2ωt + (¼ a₃U_m³ + (5/16) a₅U_m⁵)∙cos 3ωt + …

Постоянную составляющую и амплитуды чётных гармоник определяют чётные степени полиномов, а амплитуды нечётных гармоник определяют нечётные степени полиномов.

Расчёт спектров тока на выходе нелинейного элемента при кусочно-линейной аппроксимации его ВАХ

В этом случае форма тока на выходе имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой его нижней части. Далее значение θ в радианах, градусах при котором ток меняется от максимального значения до 0, называют углом отсечки.

Из рисунка видно, что при фазовом угле ωt = θ ток базы равен 0.

i(ωt) = 0 = i(θ);

Е_н = U₀ + U_mcosθ ⇒.

Подставим U_вх и Е_н в i=S(u-E_н). Получим:

i(ωt) = SU_m(cos ωt – cosθ) при –θ ≤ ωt ≤ θ.

Полученную чётную функцию периодической последовательности косинусоидальных импульсов можно разложить в тригонометрический ряд Фурье с периодом 2π и длительностью импульса 2θ.

I_n = ((2SU_m)/π)((sin(nθ) cos(θ) – ncos(n) θsin(θ))/(n(n²-1)).

Данные функции посчитаны и носят название – функции Берга:

I₀ = SU_mγ₀;

I₁ = SU_mγ₁;

I_n = SU_mγ_n.

2012-04-28

Дата добавления: 2014-01-03