Лекция 14. Современные математические картины мира. Критика программа Д.Гильберта

Математическое отражение мира использует для этого только две категории: число и фигуру. Эта скудость изобразительных средств искупается тщательным подбором и согласованностью методов отображения реальности, которые опираются на передачу содержания формами и потому называются формализованными или формальными. Математик ясно представляет, что они - воображаемы, и конкретно - им нечего не соответствует в мире, так как они, как правило, имеют статус абстрактных констант или переменных. Но они полезны, ибо имеют многочисленные интерпретации. Это ведёт к уточнению понимания связи научных истин с объективной реальностью. Схематически это выглядит так:

где ОР - объективная реальность,

ВР - виртуальная реальность,

ТТ - точная теория.

Отношение ТТ «ОР - формальная истинность

Отношение ТТ «ВР - формализованная истина

Отношение ВР «ОР - интерпретация

Причем, онтологически ВР является частью ОР и её порождением, как творение человека, поэтому их противоположность относительна и служит эпистемическим целям. Отношение интерпретации даёт достаточную свободу творчеству людей, позволяя создавать “сверхъестественное” (искусственную культуру) в рамках природы, не противореча её законам, как познанной необходимости, и создавая оптимальные условия для удовлетворения человеческих потребностей, для цивилизованного выживания общества. Как видим, математическая картина мира отражает не объективную реальность (внешний мир), и даже не эмпиричекую реальность наших восприятий и представлений, напрямую с объективной реальностью через наблюдения и представления связанный, а виртуальный мир, полученный двукратным (и более) абстрагированием эмпирической реальности, за которой стоит объективная реальность.

Поэтому для обоснования своих утверждений математика использует не наблюдения и эксперименты, как естествознание, а дедуктивный метод доказательства, в геометрии вы его знаете как аксиоматический метод. Истины математики называются точными, а не приблизительными т.к. они не эмпиричны, т.е. не пытаются дать прямую связь своих сущностей с материальными объектами.

Математика первая испытала на себе мощность абстракций, хотя древнеегипетская математика была эмпирической, поэтому абстрактную формулу Пифагора a²+b²=c² бедные египтяне записывали на тысячах табличек в виде конкретных чисел, например 3²+4²=5², или конкретных изображений прямоугольных треугольников. Любая наука, например, физика применив математизацию и формальный вывод, становится точной наукой. Цена этой точности – беднота теории и потеря прямой связи с объективной реальностью (эмпиричности).

В точных теориях понятие истины эксплицируется в форме истинностных значений. Потенциальными претендентами на обладание истинностными значениями являются предложения и суждения (высказывания, утверждения). Исторически сложилось три основных взгляда на объекты приложения истинностных оценок:

Интерпретация 1. При этой интерпретации слово, фраза или формула

(1) может быть именем какого-либо объекта, называемого денотатом.

(2)может иметь смысл, хотя и не иметь денотата.

Предложение представляет собой правильно построенную формулу (ППФ), которая может выражать (изображать, представлять) собой суждение. При этом денотатом предложения будет одно из истинностных значений, а смыслом предложения будет выражаемое им суждение. Следовательно, предложения являются именами истинностных значений. При этом каждому истинностному значению соответствует столько имен, сколько существует предложений, называющих это истинностное значение. Здесь истинностное значение выступает как особый абстрактный объект, обозначаемый предложением.

Интерпретация 2. Согласно этой интерпретации, предложение будет именем для суждения, а не для истинного значения, как своего денотата. Истинностные же значения выступают как свойства суждений, т.е. переходят с уровня объекта на уровень предиката, с помощью которого образуются классы суждений с одинаковыми истинностными свойствами. Следовательно, здесь суждения являются денотатами предложений, входящими в качестве элементов в классы с одинаковой истинностью, а истинностные значения являются классобразующими свойствами.

Интерпретация 3. В ней, как и в предыдущей интерпретации, предложения являются именами суждений, но истинностные значения уже не выступают как свойства суждений, а представляют собой особые виды суждений. Эти суждения образуют подкласс “истинностных значений” класса всех суждений. Каждому элементу этого класса присваивается особый знак (собственное имя), например, в классической логике знаки 0 и 1. Эти объекты с собственными именами образуют особый подкласс класса предложений, число членов, в котором может насчитывать от 2-х, как в классической логике, так и до бесконечно большего числа членов.

Предполагается, что существует соответствие между любым суждением и выделенными истинностными суждениями. Для выражения этого соответствия среди суждений вводятся много«однозначное двуместное отношение эквивалентности, согласно которому для каждого суждения р будет существовать эквивалентное ему суждение р’ из подкласса истинных суждений, называемое его истинным значением. Причем, два любые суждения p и q будут эквивалентны, если они имеют одно и то же истинное значение, т.е. p’=q’. Ясно, что для каждого суждения существует единственное эквивалентное ему истинное суждение, но каждому истинному суждению может быть эквивалентно бесчисленное множество суждений, эквивалентных между собой, т.е. существует отображение всего множества этих суждений в свое собственное подмножество.

В интерпретации (2) множество Р разбивается на подмножества Рi с помощью класс-образующих предикатов Тi.

P_i = { pⁱ_k / Т_i (pⁱ_k) }.

В интерпретации (3) множество P разбивается на подмножества P_i введением отношения “эквивалентности по истинностному значению” (»_t) так, что все члены P эквивалентны друг другу по истинностному значению t _i: (pⁱ_k»_ti pⁱ_j)

P_i = { pⁱ_k / для всех l, m (pⁱ_l »_ti pⁱ _m ) º (t (pⁱ_l) = t (pⁱ _m) = t_i)}.

Очевидно, что интерпретации 2 и 3 формально неразличимы.

Стандартное понимание истины как соответствия содержания предложения реальному положению дел, свойственное теории корреспонденции, долгое время было лишено более-менее удовлетворительного определения понятия “соответствия”, а значит и самого понятия “истина”, не говоря уже о критериях истины.

Американский логик А. Тарский предложил вместо расплывчатого понятия соответствия точно определяемое в формальной системе понятие удовлетворимости. Чтобы избегнуть систематических парадоксов при эксплуатации понятия истины, связанных с семантической замкнутостью естественного языка, он взял 2 уровня языка: объектный L и метаязык L*. Основной его идеей было установление отношения эквивалентности между предложениями о вещах и предложениями об истинности этих предложений

Tr () º p (1)

где p - предложение языка L.

- имя предложения р в метаязыке L*.

Tr - предикат из L*, пробегающий по именам (из L*) предложений р (из L).

º - знак бикондиции “если и только если”.

Говорят, что в метаязыке L* имя удовлетворяет предикату Tr, если и только если в языке L предложение р обладает свойством быть истинным.

Пока не существует единой интерпретации формулы (1), разные авторы придерживаются различных мнений о семантическом статусе ее переменных. Некоторые считают р - суждениями (интерпретированными предложениями), другие—предложениями (пропозициональными формами). Тарский считает замыкание (1) синтаксическим определением семантического понятия “истины в интерпретированном языке L ”, которое формируется в метаязыке L*, правда применить такое синтаксическое определение можно только обратясь к семантике и эмпирическим процедурам.

Чем вызван такой интерес представителей конкретных наук к определению понятия истины, что раньше всегда было кровным делом философов?

Дело в том, что все неформализованные теории истины строились на интуитивно-наивном уровне, при определении истины употребляли такие туманно-неопределенные термины, как “ясность”, “отчетливость”, “достоверность”, “несомненность”, “согласованность”, “соответствие” и т.д., поэтому такие теории истины не могли непосредственно обслуживать точные теории. Исследователи нуждались в таком определении понятия истины, которое по своей точности и однозначности было сравнимо с другими формализованными понятиями.

Философские понятия, такие как “суждение”, “смысл”, “объект”, они старались внутри своих теорий заменять эффективно разрешимыми понятиями, такими как “предложение”, “правильнопостроенность”, “знак” с целью “изгнания из теории всякой интуитивно- расплывчатой семантики и замены ее на точный синтаксис”. Формалист верил, что для всякого семантического понятия можно указать эквивалентное ему по объему синтаксическое понятие и, таким образом, свести всю семантику к синтаксису, например, условие истинности суждения заменить условиями выводимости предложения. Оказалось, что в целом такая программа невыполнима, хотя частичные элиминации интенсиональных терминов в отдельных теориях возможны. Например, синтаксическое свойство “быть правильно построенной формулой” (ППФ) эффективно отделяет все осмысленные в данном языке выражения алфавита от бессмысленных.

При построении формальной теории большие надежды возлагались на аксиоматический метод, который должен был при построении теории устранить необходимость постоянного обращения к семантике.

При этом формальная теория метафорически представлялась в виде огромной вычислительной машины, на вход которой могли бы подаваться различные непротиворечивые совокупности ППФ, а на выходе выдавалась бы информация обо всех дедуктивных следствиях и этих ППФ.

Оказалось, что одного аксиоматического метода и синтаксических средств недостаточно для построения теории, необходимо еще и понятие модели (виртуальной реальности, являющейся прообразом математической картины мира), которая бы определяла практическую приемлемость теории через редукцию к объективной реальности, как интерпретатора.

Тем самым от двухступенчатой гносеологической модели “теория-мир” перешли к трехступенчатой “теория-модель-мир”, причем изучение связи между формальной теорией и ее моделями стало делом точной теории и выразилось в возникновении достаточно формализованной “теории моделей”.

Область исследования философии точного знания постепенно смещается в сторону изучения взаимоотношения “модель-мир”. Поэтому в настоящий момент активно развиваются как раз интенсиональные (содержательные) логики, частными случаями которых являются модальные, временные, релевантные, эпистемические логики. В логический обиход вводятся самые разнообразные интерпретации модальных операторов, например при стандартном построении семантик возможных миров общезначимы следующие правила вывода:

А º В_ ____ А É В_А _

А º В__ AɐB A (2)

Если интерпретировать оператор  - не как модальный “необходимо, что”, а как эпистемический “некто считает, что”, то появляется парадокс всеведения, поэтому необходимо частично отказаться от правил (2), для этого в дополнение к нормальным мирам W, которые возможны с точки зрения законов классической логики, вводятся ненормальные миры W┘, которые характеризуют положения дел принимаемые только субъектом. Истинностные значения формул в них задаются произвольно, поэтому значение сложного выражения в ненормальном мире не зависит от значений его составляющих.

Вообще, интенсиональные понятия смысла, синонимии, содержания с трудом поддаются формализации, для решения возникающих здесь проблем особое значение имеет идея окрестностных семантик.

В целом современной логике характерен оптимизм, например А.А. Зиновьев полагал, что три ветви самой философии: онтология, гносеология и логика при систематической их формализации и дедуктивизации сольются в нечто единое. Пока логики разбрелись по своим многочисленным виртуальным моделям и каждый “окучивает свою более или менее нормальную семантику”

После завершения этапа формализации логики и математики неизбежно, через математизацию науки, наступает этап постепенной формализации всего научного знания.

Древнегреческая философия пронизана убеждением, что человеческий опыт (эмпирия) поставляет только "мнения", достоверные же утверждения невозможны без обращения к сущностям (числам Пифагора, эйдосам Платона, формам Аристотеля) – доматериальным объектам познания.

Какие знания мы можем считать достоверными, точными, бесспорными? Только те, полагал Аристотель, которые изложены и обоснованы вполне определенным образом. Выявляя структуру любой научной теории, он впервые выделил в ней ряд инвариантов, устойчивых элементов, таких как определения, аксиомы (общие, очевидные, общепринятые, базисные, недоказуемые положения), доказываемые утверждения (теоремы) и способы доказательств (умозаключения).

Собственно говоря, достоверность теории зависит от степени достоверности всех указанных её компонентов. Но особое значение здесь имеет способы доказательств, так как главный интерес для нее представляет информация, заложенная в доказываемых утверждениях (теоремах), и они же являются наименее обоснованными (неочевидными). Оказывается, самый эффективный способ доказательств манипулирует не с содержанием высказываний, а с их формой^[1]. Тем самым, обеспечивается неизбежность обращения к формализации, как методу теоретизации эмпирических истин.

Исторически такими формами выступили буквенные знаки и цифровые символы, благодаря их явной нейтральности к обозначаемым ими смыслами. Это привело к изобретению особых искусственных формализованных языков теорий. Первую попытку создать таким образом обоснованные теории сделал Аристотель, он сознательно применил буквенные (формальные) обозначения для содержательных высказываний.

Знак, как форма, оказался самым идеальным способом фиксации, трансформации, хранения, воспроизведения, передачи знания. Вот почему полуформализованное, формализованное, и даже чисто формальное построение теорий завоевало такие прочные позиции в логико-математических областях знания, вот почему сейчас идёт усиленный процесс формализации теорий ряда наиболее фундаментальных естественных наук. Формализуется не только логики дескриптивных суждений, но и прескриптивных (модальных), индуктивных, прагматических, интеррогативных и других способов высказывания, которые охватывают почти все формы человеческих коммуникаций. В этом сонме логик классическая логика или логика Аристотеля занимают очень скромные позиции.

Метод, формализации базируется на нескольких гносео - аксиологических принципах: во-первых, принципиальной возможности найти такое взаимно однозначное соответствие между содержанием и формой, смыслом и знаком, при котором всякое изменение в содержании влекло бы изменение в форме и наоборот. При этом форма выступает своеобразной моделью содержания.

Во-вторых, стремлением переходить к теоретическим манипуляциям с формами везде, где это не приводит к недопустимому искажению содержательной информации.

Это стремление порождено, с одной стороны, экономичностью получения относительно новой информации посредством правильных преобразований форм, с другой стороны, легкостью воспроизведения и демонстрации знаний через формы. Не следует забывать и цели обучения научному знанию. Обучение через формы эффективно использует познавательные эмпирические способности человека, делая "наглядными", "представимыми" самые абстрактные понятия.

Предполагается, что формализация – необходимый шаг завершения систематизации полученного эмпирическим (эвристическим) путём знания, потому, что она позволяет явно и строго взаимосвязать все истины данной теории, согласовать их между собой. Здесь в основе лежит другой гносеологический принцип; убеждения в том, что совокупность высказываний, соответствующих реальным ситуациям какого-либо фрагмента мира, должна быть внутренне согласована. Эта согласованность становится необходимым и достаточным условием истинности каких-либо систем утверждений. Собственно, вся логика есть наука о связях согласования (coherence), опирающихся на долгий человеческий опыт в отношении соответствия (correspondence) между объективной реальностью и её отражением в сознании.

В отношении целесообразности, пределов и стадии применения формализации существовали различные взгляды.

Согласно Д. Гильберту формализовать можно и нужно все структурные элементы теории: определения, базисные утверждения, и, главное, доказательства. Но чем предпочтительнее формализованное доказательство перед неформализованным? Формализованное доказательство окончательно (некоррегибельно, непоправляемо) дальнейшим опытом из теоретизируемой области. Оно надежнее, так как конкретно, окончательно реализует в пространстве-времени объект исследования (в определениях), также отношения между этими объектами (в постулатах) и средства исследования (в правилах вывода), делая их обозримо устойчивыми благодаря точности форм.

Мало того, если эти формы на первом этапе – формализации содержания – "не прозрачны", наполнены, то есть выступают средством обращения к содержанию, мы глядим через них на содержание и посредством них судим о содержании, постоянно помним о нём, а потому только "по правилам" оформляем, обосновываем уже полученное знание, не обнаруживая для себя новизны в следствиях (таким образом, прироста знания нет), то на втором этапе – собственно формальном – формы становятся прозрачными, пустыми, они теряют своё содержание по определению, они не обязаны его иметь (об их изначальном содержании следует забыть^[2].).

Формы становятся самодовлеющим, самостоятельным объектом исследования и, вследствие этого, переходят в свою противоположность – в содержание. Теория перестаёт говорить что-либо о мире, о реальных изначальных интерпретантах, она говорит только о свойствах и отношениях разнообразных пустых мест (предикатов и индивидных переменных) ^[3].

В рамках содержательной теории "основные отношения рассматриваются как нечто обнаруживаемое в опыте или в наглядных представлениях (и тем с самым содержательно определённое) и являющееся объектом утверждений, делаемых в теоремах нашей теории. В формальной теории, напротив, основные отношения не считаются чем-то заранее содержательно определённым. Более того, именно в аксиомах теории они и находят свое неявное определение, так что во всех рассуждениях, проводимых в какой-либо аксиоматической теории, мы можем использовать лишь те сведения, касающиеся основных отношений теории, которые недвусмысленно сформулированы в её аксиомах.

Теоретику (физику, математику, биологу) следует только дать содержательные определения знаков (заполнить пустые места), вместо системы пропозициональных знаков поставить совокупность содержательных истинных утверждений (базисность и истинность которых установлена внетеоретическим путём) и далее он автоматически получает массу новых для него содержательных высказываний-следствий, в совокупности сразу дающие теорию данной области знания. (Программа Гильберта)

Итак, существует две разных потребности в формализованной систематизации: (1) в целях обоснования знаний, (2) в целях получения нового знания через трансформацию форм.

В прежней науке эффективно достигали формализацией только первую цель, т.к. формализация была очень трудоёмка, и формализована была, в основном, только логика и математика, но в современных условиях, благодаря могучему подспорью в виде ЭВМ, на первый план в научных исследованиях выступает вторая цель, хотя и первая не теряет своей необходимости.

В чём преимущество апеллирования к знакам, а не к их смыслам?

Знаки (как инскрипции) материальны, в отличие от идеальных смыслов, а потому эмпирически воспринимаемы. Причем это восприятие, конечно, элементарно, явно по сравнению с восприятием интерпретанта, данного знака, если знаки имеют объективно-реальную интерпретацию (как в естественных науках). В рамках данного контекста знак однозначен, и в то же время может иметь много интерпретаций, смыслов.

Таковы принципы логики и метаматематики, на которых базируется теория построения современной математической картины мира.

Дата добавления: 2014-01-03