Универсальная тригонометрическая подстановка

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Интегрирование рациональных дробей

Общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы полинома и правильной дроби.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать полином и полученную сумму простейших рациональных дробей.

Пример 5. Найти интеграл

.

Решение _▼ Неправильную дробь представляем в виде суммы полинома и правильной дроби:

Получаем

.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

.

.

Получаем систему линейных уравнений:

Находим: B = 2, A = 0, M = 4, N = 2.

Таким образом

и

.

Производим интегрирование

.

.

Следовательно

.

^▲

Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Обозначим через

R (sin x; cos x)

функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление).

Нахождение определенных интегралов типа

осуществляется подстановкой

,

которая называется универсальной.

Действительно

;

;

;.

Поэтому

,

где R ₁(t) – рациональная функция от t.

Другие подстановки:

1. Если функция R (sin x; cos x) – нечетная относительно sin x, т.е.

R (–sin x; cos x) = – R (sin x; cos x),

то используется подстановка

t = cos x.

2. Если функция R (sin x; cos x) – нечетная относительно cos x, т.е.

R (sin x; –cos x) = – R (sin x; cos x),

то используется подстановка

t = sin x.

3. Если функция R (sin x; cos x) – четная относительно sin x и cos x, т.е.

R (–sin x; –cos x) = R (sin x; cos x),

то используется

t = tg x.

Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

.

Пример 1. Найти интеграл

.

Решение _▼

.

^▲

Пример 2. Найти интеграл

.

Решение _▼

Подынтегральная функция – четная относительно sin x и cos x, так как

R (–sin x;–cos x)= = R (sin x; cos x).

.

Учтено, что.

^▲

Дата добавления: 2014-01-03