Положение центра тяжести симметричного тела

Лемма. Если точки приложения всех данных параллельных сил лежат в одной и той же плоскости или на одной и той же прямой, то центр этой системы параллельных сил лежит соответственно в той же плоскости или на той же прямой.

Доказательство: примем плоскость, в которой лежат точки приложения всех данных параллельных сил, за координатную плоскость Оху. Тогда

, но по заданным условиям, следовательно,, т.е. центр системы параллельных сил лежит в плоскости Оху.

Аналогично, примем прямую, на которой лежат точки приложения всех данных параллельных сил, за координатную ось z. Тогда для всех этих точек будем иметь:, следовательно, и

Т.е. центр данной системы параллельных сил лежит на оси z.

Теорема. Если однородное тело имеет плоскость, или ось, или центр симметрии, то центр тяжести такого тела лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси или в этом центре симметрии.

Доказательство. Пусть данное тело имеет плоскость симметрии. Тогда мы можем разбить тело на пары одинаковых элементарных частиц равного веса, симметрично расположенных относительно этой плоскости: А₁ и А'₁, А₂ и А'₂ и т.д. (рис.9.4)

Рис.9.4.

Отрезки А₁ А'₁, А₂ А'₂ и т.д. перпендикулярны к плоскости симметрии и в точках пересечения с ней делятся пополам, так что А₁М₁= А'₁М₁, А₂М₂= А'₂М₂, и т.д. Обозначим веса частиц через р₁, р'₁, и т.д. Так как веса симметричных частиц равны, то р₁=р'₁ и т.д. Сложив две равные параллельные силы р₁ и р'₁, приложенные в точках А₁ и А'₁, получим равнодействующую 2 р₁, приложенную в точке М₁. Поступив так с весами каждой пары симметричных частиц, получим систему параллельных сил 2 р₁, и т.д., точки приложения которых лежат в плоскости симметрии, а следовательно, на основании предыдущей леммы в этой же плоскости лежит и центр тяжести данного тела.

Аналогично доказывается эта теорема и для случаев, когда тело имеет ось или центр симметрии. Эта теорема имеет частые применения. Например, из нее непосредственно следует, что центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму параллелограмма, лежит в точке пресечения его диагоналей, центр тяжести однородной эллиптической пластинки лежит в ее геометрическом центре, центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения, так как эта ось является для такого тела осью симметрии.

Дата добавления: 2014-01-03