Формулировка теоремы существования и единственности для нормальной системы

В приложениях часто приходится иметь дело не с одним дифференциальным уравнением первого порядка, а с более общими системами. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций. При этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же вещественного независимого переменного. Теорема существования и единственности является основным теоретическим инструментом для изучения данной системы дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности в этом параграфе формулируется для так называемых нормальных систем:

(1.31)

Здесь t - независимое переменное, x₁,¼,x_n - неизвестные функции от t, f₁,¼,f_n - заданные функции от n+1 вещественного переменного, определенные на некотором открытом множестве D евклидова пространства Rⁿ⁺¹ точек (t,x₁,¼,x_n).

В дальнейшем всегда будет предполагаться, что функции

(1.32)

непрерывны на D; кроме этого будет предполагаться, что все эти функции удовлетворяют условию Липшица относительно переменной x = (x₁,¼,x_n) (равномерно по t), т.е. существуют постоянные M_i такие, что

(1.33)

Заметим, что функция нескольких переменных F (x₁,¼,x_n) удовлетворяет условию Липшица вида (1.33) по совокупности переменных x₁,¼,x_n, если она удовлетворяет условию Липшица (равномерно) по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

(1.34)

и постоянная A_k не зависит от остальных переменных.

Действительно, из тождества

в силу (1.34) следует неравенство

Заметим также, что условие (1.33) менее ограничительно, чем условие непрерывной дифференцируемости функций f_i по переменным x_i, i=1,¼,n.

Решением системы уравнений (1.31) называется система непрерывных функций

(1.35)

определенных на некотором интервале r₁ < t < r₂, имеющих непрерывную производную, причем:

a),

б) при подстановке в соотношения (1.31) вместо x₁,¼,x_n функций (1.35) соотношения (1.31) превращаются в тождества по t на всем интервале r₁ < t < r₂.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.3.1 (О существовании и единственности для нормальной системы)

Пусть (1.31) - нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть правые части f_i уравнений (1.31) определены на некотором открытом множестве D пространства точек с координатами (t,x₁,¼,x_n). Пусть функции (1.32) непрерывны на D и выполнены условия Липшица (1.33). Тогда справедливы утверждения:

а) Для каждой точки

(1.36)

существует решение

(1.37)

системы (1.31), определенное на некотором интервале, содержащем точку t⁰, и удовлетворяющее условиям:

(1.38)

б) Если имеются два каких-либо решения

(1.39)

системы (1.31), совпадающих при некотором t = t^¢

(1.40)

причем каждое решение определено на своем собственном интервале, то эти решения совпадают всюду, где они оба определены.

Значения (1.36) называются начальными для решения (1.37), а соотношения (1.38) называются начальными условиями для этого решения. Говорят также, что решение (1.37) имеет начальные значения (1.36) или удовлетворяет начальным условиям (1.38).

Так же, как это было сделано в § 1.1 настоящей главы, введем понятие непродолжаемого решения. Именно, говорят, что решение

системы (1.31), определенное на интервале s₁ < t < s₂, является продолжением решения

этой системы, определенного на интервале r₁ < t < r₂, если (r₁,r₂) Ì (s₁,s₂) и

Решение называется непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением. Позже будет доказано, что каждое решение системы (1.31) может быть продолжено (причем единственным образом) до непродолжаемого решения.

Интегральной кривой системы дифференциальных уравнений (1.31) называется график

ее решения x_i = j_i (t), i=1,¼,n в (n+1)-ом пространстве точек (t,x₁,¼,x_n). В этом заключается геометрическая интерпретация решений.

Полем направлений, соответствующим системе дифференциальных уравнений (1.31), называется векторное поле

в (n+1)-ом пространстве (t,x₁,¼,x_n), заданное в области определения системы (1.31). В этом заключается геометрическая интерпретация системы (1.31). Связь между геометрической интерпретацией решения и геометрической интерпретацией самой системы очевидна.

В заключение этого параграфа сформулируем еще одну теорему существования для нормальной системы более частного вида по сравнению с (1.31). Речь пойдет о так называемых нормальных линейных системах уравнений, т.е. системах вида (1.31), для которых функции f_i (t,x₁,¼,x_n), i=1,¼,n являются линейными относительно переменных x₁,¼,x_n:

где a_ij (t), b_i (t), i,j=1,¼,n - известные функции независимого переменного t, определенные на некотором интервале q₁ < t < q₂. Для такой системы уравнений областью задания является полоса

в (n+1)-ом пространстве точек (t,x₁,¼,x_n).

Теорема 1.3.2 Пусть

(1.41)

- нормальная линейная система уравнений. Предположим, что коэффициенты a_ij(t) и свободные члены b_i(t) являются непрерывными функциями аргумента t на некотором интервале q₁ < t < q₂. Тогда для любых начальных значений существует, причем единственное, решение системы (1.41) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале q₁ < t < q₂.

Дата добавления: 2014-01-03