Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной




Здесь мы покажем, что весьма общая система дифференциальных уравнений сводится к нормальной системе и следовательно, для таких систем будет установлена теорема существования и единственности.

Сначала дадим описание общих систем дифференциальных уравнений.

В случае одной неизвестной функции x независимого переменного t дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид:

 
(1.42)

Здесь F - заданная функция от (n +2) переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не при всех значениях своих аргументов и поэтому говорят об области D задания функции F. Предполагается обычно, что D - открытое множество евклидова пространства размерности n +2, координатами точек в котором являются переменные.

Максимальный порядок производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Решением уравнения (1.42) называется такая непрерывная функция x = j (t) переменного t, определенная на некотором интервале r1 < t < r2, которая обладает свойствами:

- функция j (t) обладает в интервале r1 < t < r2 непрерывными производными до порядка n включительно;

- для всех t Î (r1,r2);

- при подстановке x = j (t) в соотношение (1.42) мы получаем тождество по t на интервале r1 < t < r2.

Если имеются две неизвестные функции x и y одного переменного t, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. В общем случае эта система имеет вид:

  (1.43)

Здесь F и G - две функции, зависящие от n + m +3 переменных, определенные на некотором открытом множестве D евклидова пространства размерности n + m +3. Множество D называют областью задания системы (1.43). Если максимальный порядок производной функции x, входящей в систему (1.43) (точнее говоря, хотя бы в одно из уравнений системы (1.43)) равен n, а максимальный порядок производной функции y, входящей в систему (1.43), равен m, то число n называют порядком системы относительно функции x, а m - порядком системы относительно y. Число n + m при этом называют порядком системы (1.43). Аналогично предыдущему случаю не составляет труда сформулировать определение решения системы (1.43), а также дать определение системы дифференциальных уравнений для произвольного конечного числа неизвестных функций x1,¼,xn от одного независимого переменного t. Если наивысший порядок производной функции xi, входящей в систему, равен qi, то число qi называется порядком этой системы относительно функции xi, а число q1 + ¼ + qn = q - порядком системы.

Предположим, что из соотношения (1.42) величина может быть представлена в виде однозначной функции остальных аргументов, то есть уравнение (1.42) равносильно следующему

  (1.44)

Уравнения (1.44) называются разрешенными относительно старшей производной.

Точно также система (1.43), разрешенная относительно старших производных, имеет вид:

  (1.45)

Аналогично определяются разрешенные относительно старших производных системы с произвольным числом неизвестных функций.

Покажем, что всякая система дифференциальных уравнений порядка n, разрешенная относительно старших производных, сводится к (эквивалентной ей) нормальной системе n -го порядка.

Все выкладки мы проведем для одного уравнения порядка n. Из этих выкладок легко понять процедуру сведения и для системы с произвольным (конечным) числом искомых функций.

Итак, пусть

  (1.46)

- одно дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное относительно высшей производной. Предположим, что функция

 

определена на некотором открытом множестве D (n +1)-го координатного пространства, непрерывна на D и удовлетворяет условию Липшица (равномерно по t) относительно переменных. Введем новые неизвестные функции y1,y2,¼,yn независимого переменного t по формулам:

  (1.47)

Если x = j (t) -решение уравнения (1.46) с интервалом определения r1 < t < r2, то из соотношений (1.47) следует, что вектор-функция y(t) = (y1 (t),¼, yn (t)) является непрерывно-дифференцируемой на интервале r1 < t < r2; точки (t, y (t)) = (t, y1 (t),¼, yn (t)) принадлежат множеству D при всех значениях t Î (r1, r2) и при этом имеют место тождества: (по t Î (r1,r2))

  (1.48)

Другими словами, функции y1 (t),¼, yn (t) являются решением системы уравнений (1.48) нормального вида.

Обратно, пусть система функций y1 (t),¼, yn (t), определенных на интервале r1 < t < r2, является решением системы уравнений (1.48). Из непрерывной дифференцируемости функций yi (t), i =1,¼, n и первых (n -1) соотношений в (1.48) вытекает, что функция

x (t) º y1 (t)
(1.49)

обладает на интервале r1 < t < r2 непрерывными производными до порядка n включительно и при этом справедливы тождества:

  (1.50)

Следовательно, точки

 

принадлежат D, при любом t из (r1,r2), а из последнего уравнения системы (1.48) вытекает тождество:

 

Другими словами, функция (1.49) является решением уравнения n -го порядка (1.46).

В силу теоремы 1.3.1 существует и притом единственное решение системы (1.48) для любых начальных значений. Из формул (1.47) тогда следует, что функция (1.49), т.е. x (t) = y1 (t), доставляет единственное решение уравнения (1.46), удовлетворяющее начальным условиям:

 
(1.51)

Именно таким образом следует задавать начальные условия для уравнения вида (1.46). Задачу отыскания решения уравнения (1.46), удовлетворяющего дополнительным условиям (1.51), называют задачей Коши для этого уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение

  (1.52)

относящиеся к уравнениям второго порядка, разрешенным относительно старшей производной. Областью задания уравнения (1.52)является вся плоскость переменных (t, x). Непосредственной подстановкой проверяется, что функции

 
(1.53)

удовлетворяют уравнению (1.52). Здесь r, a - произвольные постоянные. Покажем, что функции (1.53) исчерпывают всю совокупность решений уравнения (1.52). Действительно, пусть x = j (t) - произвольное решение этого уравнения. В силу теоремы 1.3.2 можно считать, что решение j (t) = x определено для всех значений t. Положим

 

Не трудно убедиться, что постоянные r ³ 0 и a можно выбрать так, чтобы имели место равенства

 

Таким образом, решения (1.53) и j (t) имеют одинаковые начальные значения и поэтому совпадают при всех t.

Функция (1.53) описывает гармонический колебательный процесс. Положительная константа r называется амплитудой колебания (1.53), а a - его фазой (точнее начальной фазой). Уравнение (1.52) называется уравнением гармонических колебаний. Число w называют частотой колебаний, хотя в действительности число n колебаний в секунду равно

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 527; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.