Основы алгебры логики

Цифровые устройства.

На первый взгляд цифровые устройства могут показаться относительно сложными. Однако они построены на принципе многократного повторения относительно простых базовых схем. Связи между этими схемами строятся на основе чисто формальных методов. Инструментом такого построения служит булева алгебра (алгебра логики).

Логическая переменная Х (или набор переменных – Х1,Х2,….Хn) так же как и функции этой переменной – У, то есть

У=f(Х1,Х2,….Хn)

принимают только два возможных значения:

- значение логического нуля (низкий уровень сигнала);

- значение логической единицы (высокий уровень сигнала).

Существуют три основные операции между логическими переменными:

- логическое сложение (дизъюнкция) – операция ИЛИ;

У= Х1 +Х2+….=Х1٧Х2٧…

- логическое умножение (конъюнкция) – операция И;

У= Х1 *Х2*….=Х1٨Х2٨…

- логическое отрицание (инверсия) – операция НЕ.

У=

Связь между логическими переменными при этих операциях отражается таблицей истинности. Для двух переменных Х1 и Х2 приводится таблица 2.2.

Таблица2.2.

Х1	Х2	У1=Х1٧Х2	У2= Х1٨Х2	У3=	У4=

Применительно к логическим операциям существуют теоремы и законы алгебры логики:

Коммутативный закон - Х1٧Х2= Х2٧ Х1; Х1٨Х2= Х2٨ Х1;

Ассоциативный закон – Х1٧(Х2٧Х3)=(Х1٧Х2)٧Х3; Х1٨(Х2٨Х3)=(Х1٨Х2)٨Х3;

Дистрибутивный закон - Х1٨(Х2٧Х3)=Х1٨Х2٧Х1٨Х3;

Теорема Де Моргана - Х1٨Х2= Х1٧Х2; Х1٧Х2= Х1٨Х2;

Правило повторения - Х۷Х=Х; Х۸Х=Х;

Правило отрицания - Х۷=1; Х۸=0;

Правило двойного отрицания - =Х;

Правило склеивания – Х1۸(Х1٧Х2)= Х1٨Х2۷Х1Х2=Х1۷Х1Х2=Х1;

Операции с “0”и “1” - Х۸1=Х, Х۸0=0, =1, =0, Х۷0=Х, Х۷1=1.

Основные логические функции могут быть реализованы с помощью соответствующих электронных схем, имеющих число входов равное числу входных переменных – Х и число выходов, равное числу выходных переменных – У.

Рис.2.63. Принятые условно – графические изображения.

На рис.2.63. приведено общее условно – графическое изображение цифровой схемы. Справа и слева выделяются поля размером, кратным 5мм для обозначения входных переменных – Х и выходных переменных – У. А в центре - основное поле, где приводится обозначение логической операции – ХХХ. Например, операция ИЛИ обозначение 1 в основном поле, операция И - &, а операция НЕ – символом 1 в основном поле и кружочком на входе или выходе.

Дата добавления: 2014-01-03