Асимптотическое поведение траектории в модели Салоу

Режим сбалансированного роста - это одна из возможных траекторий развития экономической системы. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то любая конкретная траектория будет определяться как решение дифференциального уравнения (16) с начальным условием - значение фондовооруженности в начальный момент времени и не обязательно является траекторией сбалансированного роста (ТСР). Вместе с тем, траектории сбалансированного роста играют важную роль среди множества траекторий рассматриваемых моделей: любая траектория с постоянной нормой накопления по прошествии достаточно большого времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста следовательно режим сбалансированного роста может быть использован для расчетов экономических показателей при достаточно больших значениях времени, независимо от начальных значений этих показателей. С математической точки зрения описанное свойство траекторий моделей выглядит следующим образом: пусть - фиксированное постоянное значение нормы накопления, - фондовооруженность на соответствующей этой норме траектории сбалансированного роста. Пусть - решение дифференциального уравнения (16) с начальным условием, тогда верно:

Докажем это утверждение. Предположим. В предыдущем параграфе выяснили, что правая часть уравнения (16) (функция 21) принимает в области положительные значения, следовательно будет монотонно возрастать, пока её значения принадлежат этой области. Легко видеть, что не покинет область ни при каких (по теореме о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Действительно, допустив противное, будем иметь при некотором, следовательно через точку проходят по меньшей мере два решения и уравнения (16). В силу свойств правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности решения ОДУ следует - монотонно возрастающая ограниченная функция при. Тогда по теореме Вейерштрасса. В силу (16). Из существования этого предела следует, что он равен 0. В этом можно в частности убедиться, используя формулу конечных приращений. Т.о. наряду с является корнем (20). Как было установлено в предыдущем параграфе, это уравнение имеет в области единственное решение, следовательно, т.е. выполняется соотношение (22). Аналогично доказывается, что если, то является монотонно убывающей функцией, и имеет место соотношение (22). Если, то соотношение (22) опять таки верно. Поведение траекторий уравнения (16) при фиксированном постоянном изображено на рис.4.

Из полученных результатов следует, что постоянное решение в уравнении (16) является устойчивым по Ляпунову, а значит и асимптотически устойчивым. Отметим, что доказано более сильное свойство, чем асимптотическая устойчивость, т.к последнее означает сходимость тех траекторий, начальные значения которых достаточно близки к.

В заключении рассмотрим случай, когда производственная функция является функцией Кома-Дугласа (параграф 1.9). В этом случае. Тогда уравнение (16) будет иметь вид

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что общее решение уравнения (23) представимо в виде:

где отвечает сбалансированному росту. Значение фондовооруженности, являющегося корнем.

Этот результат естественно совпадает с полученным выше результатом для произвольной линейно-однородной производственной функции.

Дата добавления: 2014-01-03