Правила нахождения первообразных

Тема: Интегрирование функций одной переменной

ЛЕКЦИЯ № 1

План:

1. Первообразная функция.

2. Определения и простейшие свойства.

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х<sup>3</sup> первообразная для f(х)=3х<sup>2</sup> на (- ∞; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х³)`=3х²

Пример 1. Рассмотрим функцию на всей числовой оси -- на интервале. Тогда функция -- это первообразная для на.

Для доказательства найдём производную от:

Поскольку равенство верно при всех, то -- первообразная для на.

Пример 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= _1/х на промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х <sup>1/2</sup>)`=1/2х^-1/2=1/2х

Пример 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/ 2; п/ 2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos²3х

Пример 4. Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х²на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х²

1. Пусть - первообразные для функций и соответственно, a, b, k – постоянные,. Тогда: - первообразная для функции; - первообразная для функции; -первообразная для функции.

2. Постоянный коэффициент можно выносить за знак интегрирования:

функции соответствует первообразная.

3. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций:

сумме функций соответствует сумма первообразных.

Пример 5. Найдите все первообразные для функции на промежутке. Так как - одна из первообразных для функции на промежутке, а - одна из первообразных для функции, то множество первообразных для функции на промежутке задается формулой.

Ответ:.

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример 6: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sinх+С–множество всех первообразных.

F₁ (х) = Sin х-1
F₂ (х) = Sin х
F₃ (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример 7: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х²+С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 1²+С
С = 3
F(х) = х²+3

Теорема 1. Пусть -- некоторая первообразная для на интервале и -- произвольная постоянная. Тогда функция также является первообразной для на.

Доказательство. Покажем, что производная от даёт:

при всех. Таким образом, -- первообразная для.

Итак, если -- первообразная для на, то множество всех первообразных для, во всяком случае, содержит все функции вида. Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции отличаются от лишь постоянным на слагаемым.

Теорема 2 Пусть -- первообразная для на и -- некоторая другая первообразная. Тогда

при некоторой постоянной.

Доказательство. Рассмотрим разность. Поскольку и, то. Покажем, что функция, такая что при всех, -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки и, принадлежащие, и к отрезку между и (пусть это) применим формулу конечных приращений

где. (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку во всех точках, в том числе и, то. Следовательно, в произвольной точке функция принимает то же значение, что в точке, то есть.

Для первообразной это означает, что при любом, то есть

.

Дата добавления: 2014-01-03