Критерий устойчивости Михайлова

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j) составит

= n/2.

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j) при изменении частоты от 0 до + повернется на угол n/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = a_n, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j) представляют суммой вещественной и мнимой составляющих:

D(j) = a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n) = a₀(j)ⁿ + a₁(j)^{n - 1} +... + a_n = ReD(j) + jImD(j),

где

ReD(j) = a_n - a_{n - 2}² + a_{n- 4} ⁴ -...,

ImD(j) = a_{n - 1} - a_{n - 3}³ + a_{n- 5} ⁵ -....

Меняя от 0 до по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.

Дата добавления: 2014-01-03