Предел числовой последовательности

▼ 1. Число а называется пределом последовательности { x_n }, если последовательность { } = { x_n-a } является бесконечно малой.▲

На основе определения бесконечно малой последовательности можно дать другое, эквивалентное определение предела последовательности.

▼ 2. Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство

. (10) ▲

В случае если последовательность { x_n } имеет своим пределом число а, говорят также, что последовательность { x_n } сходится (или стремится) к числу а, и обозначают этот факт так:

или (при ). (11)

a Геометрически это означает: неравенство (10) равносильно неравенствам

или ,

которые показывают, что элемент x_n находится в ε-окрестности точки а.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так:

число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любой ε-окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения x_{n ,} для которых n > N, попадут в ε-окрестность точки а (рис.1).

рис.1

aХарактер приближения членов последовательности { x_n }, к пределу а может быть различным, последовательность может сходится к числу а:

- либо возрастая:

- возрастает и сходится к числу1;

- либо убывая:

- убывает и сходится к числу 1;

- либо колеблясь около числа а:

- приближается к нулю, колеблясь около этого значения;

— приближается к 1. причём бесконечно много из них равных 1.

aПеременная х, имеющая предел а, есть величина ограниченная.

aБесконечно большая величина не имеет предела.

Принято говорить: «предел х равен бесконечности» или «бесконечно большая величина х имеет бесконечный предел» и записывать . В том случае, когда х б.б. величина и её значения с некоторого момента только положительные (или только отрицательные) числа, записывают: (или ).

Символ ни в коем случае не может рассматриваться как число, а потому бессмысленной является запись n= , т.к. n может равняться числу и не может быть равно символу, введённому только для сокращения записи и сокращённого произношения фразы.

Задание. Доказать, что: 1) ; 2) .

aЗапись «» следует понимать так: переменная величина n становится всё большей и большей и не существует предела для её возрастания.

Дата добавления: 2014-01-03