Операция умножения матриц

Правовое положение иностранцев в Российской федерации

Порядок разрешения дел о гражданстве Российской федерации

Приобретение гражданства Российской Федерации

Понятие и принципы гражданства Российской федерации

Гражданство Российской Федерации

К числу важнейших элементов института основ правового статуса человека и гражданина относится гражданство. Значимость данного элемента обусловлена тем, что гражданство является непременным условием распространения на человека всей полноты прав, свобод и обязанностей, установленных государством для своих граждан. Вопросы гражданства нормативно урегулированы: - Конституцией РФ (ст. 6, 61, 62, п. «в» ст. 71); - Законом Российской Федерации от 28 ноября 1991 г. «О гражданстве Российской Федерации», Положением о порядке рассмотрения вопросов гражданства Российской Федерации, утвержденным Указом Президента РФ от 10 апреля 1992 г., международными договорами Российской Федерации.

Понятие гражданства сформулировано в преамбуле Закона о гражданстве.

Гражданство есть устойчивая правовая связь человека с государством, выражающаяся в совокупности их взаимных прав, обязанностей и ответственности, основанная на признании и уважении достоинства, основных прав и свобод человека. Устойчивая связь заключается в том, что отношения гражданства носят бессрочный характер. Как правило, они длятся с момента рождения человека и сохраняются на протяжении всей его жизни, если только сам человек не пожелает выйти из гражданства своего государства. Правовая связь означает юридическое оформление отношений гражданства. Документами, подтверждающими гражданство Российской Федерации, являются паспорт гражданина Российской Федерации; свидетельство о рождении; иной документ, содержащий указание на гражданство.

Принципы гражданства в Российской Федерации:

1. В Российской Федерации каждый человек имеет право на гражданство. Суть этого принципа сводится к тому, что иностранные граждане, лица без гражданства в установленном законом порядке могут приобрести гражданство Российской Федерации.

2. Гражданство Российской Федерации является равным независимо от оснований приобретения. Раскрывая содержание данного принципа, необходимо указать на то, что законодательство Российской Федерации, в отличие от законодательства ряда зарубежных стран (например, США, где согласно Конституции Президентом может быть избран только прирожденный гражданин США), не устанавливает каких-либо различий в правовом статусе лиц, ставших гражданами России по разным основаниям: в результате приема в гражданство, в результате восстановления в гражданстве, по рождению, в порядке регистрации гражданства и др.

3. Гражданство Российской Федерации является единым. Этот принцип обусловлен федеративным характером государственного устройства России, где наряду с общефедеральным гражданством существует гражданство республик в составе Российской Федерации. Принцип единства гражданства означает, что граждане Российской Федерации, постоянно проживающие на территории республики в составе Российской Федерации, являются одновременно гражданами этой республики. Конституции соответствующих республик (Калмыкии, Кабардино-Балкарии и др.) также закрепляют свое республиканское гражданство, существующее в единстве с гражданством Российской Федерации. Статья 22 Закона о гражданстве в развитии принципа единого гражданства закрепляет, что прекращение гражданства Российской Федерации влечет за собой прекращение гражданства республик в составе Российской Федерации.

4. Сокращение безгражданства. Статья 7 Закона о гражданстве устанавливает, что Российская Федерация поощряет приобретение гражданства Российской Федерации лицами без гражданства. Кроме того, содержание смысла ст. 17 Закона демонстрирует реализацию данного принципа применительно к детям, родившимся на территории Российской Федерации от лиц без гражданства, - они являются гражданами Российской Федерации.

5. Гражданин Российской Федерации не может быть лишен своего гражданства или права его изменить. Данный принцип является сравнительно новым в законодательстве о гражданстве. В бывшем СССР существовал институт лишения гражданства, причем до 1978 года в законодательстве отсутствовали какие-либо указания на основания, по которым осуществлялось лишение гражданства. Закон «О гражданстве СССР» 1978 г. установил такие основания. К ним относились «действия, порочащие высокое звание гражданина СССР и наносящие ущерб престижу или государственной безопасности СССР».

6. Принцип двойного гражданства. Гражданин Российской Федерации может иметь гражданство иностранного государства в соответствии с федеральным законом или международным договором Российской Федерации. Наличие у гражданина Российской Федерации гражданства иностранного государства не умаляет его прав и свобод и не освобождает от обязанностей, вытекающих из российского гражданства, если иное не предусмотрено федеральным законом или международным договором Российской Федерации (ст. 62 Конституции РФ). В настоящее время получила распространение практика заключения между государствами договоров о двойном гражданстве, которые обязывают стороны учитывать наличие у своих граждан также гражданства другой стороны и не требовать от них выполнения определенных гражданских обязанностей, если эти обязанности были выполнены по отношению к другой стороне (например, воинская обязанность).

7. Гражданство Российской Федерации сохраняется за лицами, проживающими за пределами Российской Федерации (ст. 4 Закона о гражданстве).

8. Российская Федерация гарантирует своим гражданам защиту и покровительство за ее пределами (ч. 2 ст. 61 Конституции РФ). Статья 5 Закона содержит положение о том, что государственные органы Российской Федерации, дипломатические представительства и консульские учреждения Российской Федерации, их должностные лица обязаны содействовать гражданам Российской Федерации в обеспечении им возможности пользоваться в полном объеме всеми правами, установленными законодательством государства их пребывания, международными договорами России, в защите их прав и охраняемых законом интересов, а при необходимости принимать меры для восстановления нарушенных прав граждан Российской Федерации.

9. Сохранение гражданства Российской Федерации при заключении и расторжении брака. Данный принцип получил свое закрепление в ст. 6 Закона о гражданстве, где сказано, что заключение и расторжение брака гражданином Российской Федерации с лицом, не принадлежащим к гражданству Российской Федерации, не влечет за собой автоматического изменения гражданства. Изменение гражданства одним из супругов также не влечет за собой изменения гражданства другого супруга.

10. К числу принципов гражданства Российской федерации может быть отнесен такой институт, как почетное гражданство, которое предоставляется Президентом РФ лицу, не являющемуся гражданином Российской Федерации, но имеющему выдающиеся заслуги перед Россией или мировым сообществом.

Гражданство Российской Федерации приобретается:

1) в результате его признания;

2) по рождению;

3) в порядке его регистрации;

4) в результате приема в гражданство;

5) в результате восстановления в гражданстве Российской Федерации;

6) путем выбора гражданства (оптации) при изменении государственной принадлежности территории;

7) по иным основаниям, предусмотренным Законом.

1. Приобретение гражданства в результате признания (ст. 13 Закона о гражданстве). Гражданами Российской Федерации признаются: 1) все граждане бывшего СССР, постоянно проживающие на территории Российской Федерации на день вступления в силу Закона о гражданстве, если в течение одного года после этого дня они не заявят о своем нежелании состоять в гражданстве Российской Федерации; 2) лица, родившиеся 30 декабря 1922 г. и позднее и утратившие гражданство бывшего СССР, считаются состоявшими в гражданстве Российской Федерации по рождению, если они родились на территории Российской Федерации или если хотя бы один из родителей на момент рождения ребенка был гражданином СССР и постоянно проживал на территории Российской Федерации. Под территорией Российской Федерации в данном случае понимается территория Российской Федерации по состоянию на дату их рождения.

2. Приобретение гражданства по рождению - «филиация» (ст. 14-17 Закона о гражданстве). В мировой практике существует два основных способа приобретения гражданства по рождению: на основе принципов «права крови» и «права почвы». В первом случае ребенок приобретает гражданство родителей независимо от места рождения, во втором - ребенок становится гражданином того государства, на территории которого он родился, независимо от гражданства родителей.

Российское законодательство о гражданстве сочетает эти два принципа, хотя доминирующим является принцип «права крови»:

1) ребенок, родители которого на момент его рождения состоят в гражданстве Российской Федерации, является гражданином Российской Федерации независимо от места рождения;

2) ребенок, один из родителей которого на момент его рождения состоит гражданстве Российской Федерации, а другой является лицом без гражданства, приобретает гражданство Российской Федерации независимо от места рождения. При различном гражданстве родителей, один из которых на момент рождения ребенка состоит в гражданстве Российской Федерации, а другой имеет иное гражданство, вопрос о гражданстве ребенка, независимо от места его рождения, определяется письменным соглашением родителей. При отсутствии такого соглашения ребенок приобретает гражданство Российской Федерации, если он родился на территории Российской Федерации либо если иначе он стал бы лицом без гражданства.

Принцип «права почвы» применяется в отношении гражданства детей, находящихся на территории Российской Федерации:

1) родители которых неизвестны; \

2) родители которых являются лицами без гражданства или же состоят в гражданстве других государств, если последние не предоставляют ему своего гражданства.

3. Приобретение гражданства в порядке регистрации (ст. 18 Закона о гражданстве).

В порядке регистрации гражданство Российской Федерации приобретают:

1) лица, у которых супруг либо родственник по прямой восходящей линии является гражданином Российской Федерации;

2) лица, у которых на момент рождения хотя бы один из родителей был гражданином Российской Федерации, но они приобрели иное гражданство по рождению - в течение пяти лет по достижении 18-летнего возраста;

3) дети бывших граждан Российской Федерации, родившиеся после прекращения у родителей гражданства Российской Федерации - в течение пяти лет по достижении 18-летнего возраста;

4) лица без гражданства, на день вступления в силу Закона о гражданстве постоянно проживающие на территории Российской Федерации или других республик, непосредственно входивших в состав бывшего СССР по состоянию на 1 сентября 1991 г., если в течение одного года после вступления в силу Закона заявят о своем желании приобрести гражданство Российской Федерации;

5) иностранные граждане и лица без гражданства независимо от их места жительства, если они сами или хотя бы один из их родственников по прямой восходящей линии состояли в российском гражданстве (подданстве) по рождению и если они в течение одного года после вступления в силу Закона о гражданстве заявят о своем желании приобрести гражданство Российской Федерации;

6) граждане бывшего СССР, проживающие на территориях государств, входящих в состав бывшего СССР, а также прибывшие для проживания на территорию Российской Федерации после 6 февраля 1992 г., если они до 31 декабря 2000 г. заявят о своем желании приобрести гражданство Российской Федерации.

4. Прием в гражданство - «натурализация» (ст. 19 Закона о гражданстве). Дееспособное лицо, достигшее 18-летнего возраста и не состоящее в гражданстве Российской Федерации, может ходатайствовать о приеме в гражданство Российской Федерации.

В качестве условия приема в граждаство Российская Федерация требует постоянного проживания на ее территории для иностранных граждан и лиц без гражданства всего 5 лет или 3 года непрерывно непосредственно перед обращением с ходатайством. Для беженцев указанные сроки сокращаются вдвое.

Закон о гражданстве (п. 3 ст. 19) содержит перечень обстоятельств, которые облегчают прием в гражданство посредством сокращения установленных сроков проживания, вплоть до их полного снятия. К ним относятся:

1) состояние в гражданстве бывшего СССР в прошлом;

2) усыновление ребенка, являющегося гражданином Российской Федерации;

3) наличие высоких достижений в области науки, техники и культуры, а также обладание профессией или квалификацией, представляющими интерес для Российской Федерации;

4) наличие заслуг перед народами, объединенными в Российской Федерации, в возрождении Российской Федерации, в осуществлении общечеловеческих идеалов и ценностей;

5) получение убежища на территории Российской Федерации;

6) состояние в прошлом лица или хотя бы одного из его родственников по прямой восходящей линии в российском гражданстве по рождению.

Отклоняются ходатайства о приеме в гражданство Российской Федерации лиц, которые:

1) выступают за насильственное изменение конституционного строя Российской Федерации;

2) состоят в партиях и других организациях, деятельность которых несовместима с конституционными принципами Российской Федерации;

3) осуждены и отбывают наказание в виде лишения свободы за действия, преследуемые по законам Российской Федерации.

5. Восстановление в гражданстве (ст. 20 Закона о гражданстве). Закон о гражданстве предусматривает несколько форм восстановления в гражданстве: в порядке регистрации; в результате признания факта восстановления в гражданстве; по ходатайству лица.

В порядке регистрации в гражданстве Российской федерации восстанавливаются:

1) лица, у которых гражданство Российской Федерации прекратилось в связи с усыновлением, установлением опеки или попечительства;

2) лица, у которых гражданство Российской Федерации прекратилось в связи с изменением гражданства родителей - в течение пяти лет по достижении 18-летнего возраста. В результате признания факта восстановления гражданство Российской Федерации приобретают бывшие граждане РСФСР, лишенные гражданства или утратившие его без их свободного волеизъявления. Лицо, ранее состоявшее в гражданстве Российской Федерации, но которое не имеет оснований для восстановления в гражданстве в первых двух формах, приобретает гражданство Российской Федерации но ходатайству о восстановлении.

6. Выбор гражданства - «оптация» (ст. 21 Закона о гражданстве). При изменении границы Российской Федерации в порядке, определенном законодательством Российской Федерации, лица, проживающие на территории, изменившей государственную принадлежность, имеют право на выбор гражданства (оптацию) в порядке и в сроки, определяемые международным договором Российской Федерации.

7. Иные основания приобретения гражданства. К таким основаниям Закон о гражданстве относит усыновление, опекунство, институт почетного гражданства (например, согласно п. 2 ст. 29 Закона о гражданстве ребенок, не являющийся гражданином Российской Федерации, в случае усыновления его гражданином Российской Федерации или супругами - гражданами Российской Федерации, становится гражданином Российской Федерации). 4.2.3. Прекращение гражданства Российской Федерации

Гражданство Российской Федерации прекращается:

1) вследствие выхода из гражданства;

2) вследствие отмены решения о приеме в гражданство;

3) путем выбора гражданства (оптации) при изменении государственной принадлежности территории;

4) по иным основаниям, предусмотренным Законом.

1. Выход из гражданства (ст. 23 Закона о гражданстве) - это его утрата лицом по собственному волеизъявлению.

Выход из гражданства может быть реализован двумя способами:

1) по ходатайству гражданина;

2) в порядке регистрации (то есть в упрощенном порядке), если у лица, заявившего о намерении выйти из гражданства Российской Федерации, хотя бы один из родителей, супруг или ребенок имеет иное гражданство либо если лицо выехало на постоянное жительство в другое государство в установленном законом порядке.

Закон о гражданстве установил две группы оснований, которые препятствуют выходу из гражданства:

1) если гражданин проживает или намеревается поселиться в стране, не связанной с Российской Федерации договорными обязательствами о правовой помощи, но имеет либо имущественные обязательства перед физическими или юридическими лицами Российской Федерации, либо неисполненные обязанности перед государством, вытекающие из оснований, определяемых законом Российской Федерации (п. 2 ст. 23 Закона о гражданстве), ходатайство о выходе из гражданства может быть отклонено;

2) выход из гражданства Российской Федерации не допускается (п. 3 ст. 23 Закона о гражданстве): - после получения повестки о призыве на срочную военную или альтернативную службу и до ее окончания; - если гражданин, ходатайствующий о выходе из гражданства Российской Федерации, привлечен в качестве обвиняемого по уголовному делу либо в отношении него имеется вступивший в законную силу и подлежащий исполнению обвинительный приговор суда.

2. Отмена решения о приеме в гражданство (ст. 24 Закона о гражданстве) - единственный случай возможного прекращения гражданства Российской Федерации без волеизъявления самого лица. Отмена решения о приеме в гражданство применяется в отношении лица, которое приобрело гражданство Российской Федерации на основании заведомо ложных сведений и фальшивых документов. Факт представления заведомо ложных сведений и фальшивых документов устанавливается в судебном порядке. Отмена решений о приеме в гражданство не освобождает данное лицо от установленной законом ответственности. Отмена решения о приеме в гражданство Российской Федерации возможна в течение пяти лет после приема.

3. Выбор гражданства - «оптация» (ст. 21 Закона о гражданстве). Основанием прекращения гражданства является оптация в случаях, когда гражданин Российской Федерации при изменении государственной принадлежности территории, на которой он проживает, выбирает иное гражданство.

4. Иные основания прекращения гражданства. К таким основаниям Закон о гражданстве относит, например, прекращение гражданства Российской Федерации у детей в возрасте до 14 лет, родители которых приобрели иное гражданство (ч. 1 ст. 26).

Государственными органами, ведающими делами о гражданстве Российской Федерации, являются:

1) Президент РФ;

2) Комиссия по вопросам гражданства при Президенте Российской Федерации;

3) Министерство внутренних дел Российской Федерации и его органы;

4) Министерство иностранных дел Российской Федерации, дипломатические представительства и консульские учреждения Российской Федерации.

Президент РФ принимает решения по вопросам: приема в гражданство; восстановления в гражданстве; разрешения на выход из гражданства Российской Федерации; двойного гражданства; отмены решения о приеме в гражданство; предоставления почетного гражданства. По всем названным вопросам Президент издает указы. Для предварительного рассмотрения вопросов гражданства Президент РФ образует Комиссию по вопросам гражданства.

Важную роль в системе государственных органов, ведающих делами гражданства, играют МВД РФ и его органы, МИД РФ, дипломатические представительства и консульские учреждения.

Они осуществляют следующие полномочия:

1) принимают заявления и ходатайства по вопросам гражданства Российской Федерации;

2) проверяют факты и документы, представленные в обоснование заявлений и ходатайств по вопросам гражданства Российской Федерации;

3) направляют ходатайства по вопросам гражданства вместе с соответствующими документами в Комиссию по вопросам гражданства при Президенте РФ;

4) определяют принадлежность лиц к гражданству Российской Федерации; осуществляют регистрацию приобретения или прекращения гражданства Российской Федерации в предусмотренных законом случаях;

5) осуществляют исполнение решений по вопросам гражданства.

Изменение гражданства Российской Федерации (приобретение или прекращение) осуществляется либо в порядке регистрации (упрощенный порядок), либо в случаях, не подпадающих под регистрационный порядок, путем подачи ходатайства на имя Президента РФ.

При изменении гражданства в порядке регистрации заинтересованным лицом подается заявление, решение по которому принимается соответствующим органом внутренних дел или Министерством иностранных дел, дипломатическим представительством, консульским учреждением. Срок рассмотрения заявления не может превышать шести месяцев. Решение соответствующих органов оформляется заключением, которое может быть обжаловано в суде в месячный срок.

В случаях, не подпадающих под регистрационный порядок, заинтересованным лицом подается ходатайство на имя Президента РФ. Срок рассмотрения ходатайства не может превышать девяти месяцев. Результат рассмотрения хозяйства оформляется указом Президента РФ и обжалованию не подлежит.

Гражданство Российской Федерации считается приобретенным или прекращенным со дня принятия решения полномочным органом или издания указа Президента РФ.

На территории Российской Федерации, кроме граждан России, составляющих большинство населения, постоянно проживают или временно находятся лица не имеющие гражданства Российской Федерации, - так называемые «иностранцы».

Термин «иностранцы» в литературе чаще всего используется в качестве собирательного понятия для обозначения двух категорий лиц: иностранных граждан и лиц без гражданства.

Иностранными гражданами признаются лица, не являющиеся гражданами Российской Федерации и имеющие доказательства своей принадлежности к гражданству иностранного государства.

Лицами без гражданства признаются лица, не являющиеся гражданами Российской Федерации и не имеющие доказательств принадлежности к гражданству другого государства.

В основе правового статуса не состоящих в российском гражданстве лиц лежит принцип национального режима, согласно которому иностранные граждане и лица без гражданства пользуются в Российской Федерации правами и несут обязанности наравне с гражданами Российской Федерации, кроме случаев, установленных федеральным законом или международным договором Российской Федерации (ч. 3 ст. 62 Конституции РФ). Правовое положение иностранных граждан, пребывающих на территории России, определяется Законом СССР от 24 июня 1981 г. «О правовом положении иностранных граждан в СССР», который сохраняет свое действие до принятия по этому вопросу федерального закона. Юридический статус иностранцев регулируется также нормами отдельных отраслей права (гражданского, гражданско-процессуального, таможенного, семейного, уголовного и др.).

Закон 1981 года разграничивает иностранных граждан на две категории: постоянного проживающих на территории Российской Федерации, то есть имеющих на то разрешение и вид на жительство, выданные органами внутренних дел; временю пребывающих в Российской Федерации, то есть находящихся в России на ином законном основании.

Временно пребывающие иностранные граждане обязаны в установленном порядке зарегистрировать свои заграничные паспорта или заменяющие их документы и выехать из России по истечении определенного им срока пребывания.

Факт постоянного проживания иностранного гражданина на территории Российской Федерации существенным образом определяет особенности его правового положения. Иностранные граждане, постоянно проживающие на территории России, имеют право на трудовую деятельность, на отдых, на охрану здоровья, на получение пособий, пенсий и других форм социального обеспечения, на обеспечение жильем. Иностранные граждане также имеют право получать образование, пользоваться достижениями культуры, им гарантируется свобода совести, они могут, заключать и расторгать браки с гражданами России.

Законодательство Российской Федерации устанавливает определенные ограничения в правах, свободах и обязанностях для иностранных граждан и лиц без гражданства. Прежде всего, эти ограничения касаются политических прав, обладание которыми неразрывно связано с наличием гражданства Российской Федерации. Так, иностранцы не пользуются избирательным правом, не имеют права состоять в политических общественных объединениях, проводить публичные мероприятия (митинги, шествия, пикетирования и т. д.). Кроме того, они не имеют права находиться на государственной службе, участвовать в отправлении правосудия, не несут воинской обязанности и др.

Иностранные граждане, совершившие преступления, административные или иные правонарушения на территории России, подлежат ответственности на общих основаниях с гражданами Российской Федерации.

За нарушение иностранными гражданами правил пребывания в Российской Федерации к ним могут быть применены в качестве меры административного взыскания предупреждение или штраф, а злостное нарушение иностранными гражданами правил пребывания в Российской Федерации влечет за собой уголовную ответственность. Иностранному гражданину, нарушающему законодательство о правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации, может быть сокращен определенный ему срок пребывания.

Иностранный гражданин может быть выдворен из пределов России:

1) если его действия противоречат интересам обеспечения государственной безопасности или охраны общественного порядка;

2) если это необходимо для охраны здоровья и нравственности населения, зашиты прав и законных интересов граждан России и других лиц;

3) если он грубо нарушил законодательство о правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации, таможенное, валютное или тое российское законодательство.

Следует отметить, что находящиеся на территории России сотрудники иностранных дипломатических и консульских представительств и члены их семей имеют особый правовой статус, который складывается из привилегий иммунитетов, установленных законодательством и международными договорами Российской Федерации.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример

Даны матрица и матрица Найти АВ.

Решение

Ответ: .

Схематично операцию умножения матриц можно изобразить:

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т=;

другими словами, b_ji = a_ij.

Схематично операцию транспонирования можно изобразить:

транспонирование

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = ×= = ;

aC = ; А^ТВ+aС = += .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = ×= .

ВА = ×= 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ×= = .

Пример. Дана матрица А = , найти А³.

А² = АА = = ; A³ = = .

Отметим, что матрицы и являются перестановочными.

Элементарные преобразования матрицы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Cвойства обратных матриц.

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

К матрице Aij «дописывают» справа единичную матрицу. С помощью элементарных преобразований приводят матрицу Aij к единичному виду, тогда матица, которая получится справа – обратная

Рассмотреть пример в задачнике Ермакова стр 54 № 5.23

Применение обратной матрицы

Упражнения:

Заданы матрицы А, В, С. Найти:(3 А +2 В) С; Данные брать в таблице.

Вариант	А	В	С

Дата добавления: 2014-01-03