Преобразование Лапласа

Если условие (4.18) не выполняется, то определенные приближения спектральных плотностей вычисляются с использованием специальных методов, одним из которых является одностороннее преобразование Лапласа.

Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0, ¥), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции (4.11) расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию exp(-st), где s - положительная константа, и выберем значение s таким, чтобы произведение u(t) = s(t)×exp(-st) удовлетворяло условию абсолютной интегрируемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис. 4.16 (s=с). Интегрируемость функции u(t) может быть установлена для любой функции s(t) соответствующим выбором коэффициента s. При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (4.11):

U(w,s) =[s(t) exp(-st)] exp(-jwt) dt.

Рис. 4.16

После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следующим образом:

U(s+jw) =s(t) exp[-(s+jw)t] dt. (4.19)

Соответствующее обратное преобразование Фурье функции U(s+jw):

(1/2p)U(s+jw) exp(jwt) dw = s(t) exp(-st).

Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на exp(st), объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную интегрирования w на s+jw:

s(t) = (1/2pj)S(s+jw) exp[(s+jw)t] d(s+jw). (4.20)

Обозначим комплексную переменную s+jw в выражениях (4.19, 4.20) через р (оператор Лапласа) и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:

S(p) =s(t) exp[-pt] dt. (4.19')

s(t) = (1/2pj)S(p) exp(pt) dp. (4.20')

Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спектральную функцию S(p) – изображением оригинала. Пример спектральной функции Лапласа для оригинала – сложного и неограниченного во времени сигнала, состоящего из каузальной суммы трех гармоник, приведен на рис. 4.17. По спектральной функции Лапласа можно выделить эти три основных частоты сигнала и оценить соотношение их амплитуд. Ширина пиков спектральной функции при выделении "чистых" гармоник зависит от значения коэффициента s и уменьшается при его уменьшении.

Рис. 4.17 – Сигнал и его спектральная функция Лапласа при p=0.0005+jw

Преобразование Лапласа справедливо только в области сходимости интеграла (4.19), которая определяется абсциссой абсолютной сходимости s₀ (при s ≥ s₀):

|s(t) exp(-(s+jw)t)| dt = |s(t)||exp(-jwt)| exp(-st) dt = |s(t)| exp(-st) dt < ∞.

Если вместо р в изображениях оригинала подставить переменную jw, то будут получены спектральные функции, полностью идентичные преобразованию Фурье каузальных функций (имеющих нулевые значения при t<0).

Дата добавления: 2014-01-03