Отображение z-преобразования

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.7). Спектральной оси частот w на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

|z| = |exp(-jwDt)| == 1.

Подстановка значения какой-либо частоты w в z = exp(-jwDt) отображается точкой на окружности. Частоте w = 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста w_N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки w_N совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.

Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни a_i, и переписать полином в виде произведения двучленов:

S(z) = a₀(z-a₁)(z-a₂)...,

где а₀ – последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-a_i) превращаются в двухточечные диполи {-a_i,1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей:

s_k= a₀{-a₁,1}_*{-a₂,1}_*{-a₃,1}_*...

Пример. s_k = {1.4464, -2.32, 3.37, -3, 1}.

S(z) = z⁴-3z³+3.37z²-2.32z+1.4464. a₀ = 1.

Корни полинома S(z): a₁ = 0.8+0.8j, a₂ = 0.8-0.8j, a₃ = 0.7+0.8j, a₄ = 0.7-0.8j,

S(z) = (z-0.8-0.8j)(z-0.8+0.8j)(z-0.7-0.8j)(z-0.7+0.8j).

Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 8.3.1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопряженными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены и получить биквадратные блоки:

S(z) = (z²-1.4z+1.13)(z²-1.6z+1.28).

При переходе в координатную область: s_k = {1.13, -1.4, 1} _* {1.28, -1.6, 1}.

Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).

Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции.

Обратное z-преобразование в общем случае производится интегрированием по произвольному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа:

s_k = (1/2pj)

Способом, удобным для практического применения, является разложение рациональных S(z) на простые дроби. С учетом линейности преобразования:

S(z) =a_n/(1-b_nz) Ûa_n(b_n)^k = s_k.

Пример. S(z) = 1/(1-5z+6z²) = 3/(1-3z)-3/(1-2z) Û 3×3^k -3×2^k = s(k).

При разложении функции S(z) по степеням z обратное z-преобразование не вызывает затруднений.

Дата добавления: 2014-01-03