Свойства коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции является одним из самых распространенных способов измерения связи между случайными переменными. Рассмотрим некоторые свойства этого коэффициента.

Теорема 1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале (-1, +1).

Доказательство. Докажем справедливость утверждения для случая дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное выражение:

Возведём выражение под знаком суммы в квадрат:

Первое и третье из слагаемых равны единице, поскольку из определения дисперсии следует, что —и . Таким образом, окончательно получаем 1±2ρ+1≥0, откуда -l≤ρ≤+1.

Если коэффициент корреляции положителен, то связь между переменными также положительна и значения переменных увеличиваются или уменьшаются одновременно. Если коэффициент корреляции имеет отрицательное значение, то при увеличении одной переменной уменьшается другая.

Приведём следующее важное свойство коэффициента корреляции: коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчёта и единицы измерения, т. е. от любых постоянных и , и таких, что >0 и >0, т.е.

.

Таким образом, переменные X и Y можно уменьшать или увеличивать в а раз, а также вычитать или прибавлять к значениям X и Y одно и то же число b. В результате величина коэффициента корреляции не изменится.

Если коэффициент корреляции , то случайные переменные некоррелированы. Понятие некоррелированности не следует смешивать с понятием независимости, независимые величины всегда некоррелированы. Однако обратное утверждение невероятно: некоррелированные величины могут быть зависимы и даже функционально, однако эта связь не линейная.

Выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле (1.2). Имеется несколько модификаций этой формулы, которые удобно использовать при той или иной форме представления исходной информации. Так, при малом числе наблюдений выборочный коэффициент корреляции удобно вычислять по формуле

Если информация имеет вид корреляционной таблицы (см. п 1.5), то удобно пользоваться формулой

, (1.5)

где — суммарная частота наблюдаемого значения признака х при всех значениях у;— суммарная частота наблюдаемого значения признака у при всех значениях х; — частота появления пары признаков (х, у).

Из формулы (1.2) очевидно, что , т.е. величина выборочного коэффициента корреляции не зависит от порядка следования переменных, поэтому обычно пишут просто r.

Дата добавления: 2014-01-03