Решение. Так как события A и B – совместны, то

Пример 2

Решение

Пример 1

Решение

Так как события A и B – совместны, то

,

или через противоположное событие

.

.

5. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть рассматривается полная группа событий (попарно несовместные, которые называются гипотезами), и если событие может наступить только при появлении одной их этих гипотез, то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности:

,

или

,

где – вероятность гипотезы,.

Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 задач по интегральному исчислению.

Для сдачи зачета студент должен решить первую же наудачу

доставшуюся задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решать 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Пусть событие А – студент сдал зачет. Сформулируем гипотезы:

– получил задачу по дифференциальному исчислению;

– получил задачу по интегральному исчислению;

Р(Н₁) = ₂) =;

P(A|

по формуле полной вероятности9

P(A) = Р(Н₁) P(A| + ₂)

Имеется три одинаковые урны. В первой a белых шаров и b черных; во второй – c белых и d черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Пусть событие A – появление белого шара. Формулируем гипотезы:

– выбор первой урны;

– выбор второй урны;

– выбор третьей урны;

,

,,;

по формуле полной вероятности

.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса.

При рассмотрении формулы полной вероятности событие наступает при условии появления одного из несовместных событий, следовательно, события и - зависимы. Поскольку заранее неизвестно какое из событий наступит, то будем события называть гипотезами.

Допустим теперь, что событие - наступило. Этот факт изменит вероятность гипотез

Найдем условные вероятности в предположении, что событие наступило т.е. (переоценка гипотезы)

Для этого используем теорему умножения (5, из предыдущей лекции)

,

где находится по формуле полной вероятности.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие произошло.

В формуле Байеса есть контроль

Формула Байеса дает возможность переоценить вероятности гипотез с учетом уже известного результата опыта.

Дата добавления: 2014-01-03