Формула полной (средней) вероятности

Иногда интересующее нас событие А может произойти как случайное следствие одного из несовместных событий H₁, H₂,… H_n, которые входят в полную группу и называются гипотезами. Уточним некоторые положения. Во-первых, своим названием гипотезы обязаны тому, что заранее неизвестно, какое из событии H_i наступает. Во-вторых, гипотезы обязательно должны входить в полную группу, но не обязательно составлять ее; например, 5 упаковок образуют полную группу, но к двум из них получатель не обращается. В-третьих, термин "случайное следствие" означает, что каждая из гипотез H_i может повлечь за собой не только событие А, но и другие события B, C, D,…

Поясним ситуацию на примере. На склад поступают лампы в упаковках с трех разных заводов (H₁, H₂, H₃). Некоторые лампы бракованные. Доля таких ламп с первого завода составляет 3%, со второго – 5% и с третьего – 7%. Случайным образом (наугад, наудачу) выбирается лампа из какой-то упаковки (H_i). Спрашивается, какова вероятность того, что лампа будет стандартной.

Рассмотрим общий случай. Пусть случайное событие А может появиться как случайное следствие одного из несовместных событии H₁, H₂,... H_n, которые образуют полную группу. Каждая из гипотез H_i может повлечь за собой не только событие А, но и другие события В, С, D,... (рис. 1.20). Предполагаются известными: все вероятности гипотез (априорные вероятности) Р (H_i), i = 1,2,..., n; условные вероятности (вероятности перехода) Р (А / H_i) события A при каждой из гипотез H_i. Ставится задача: определить безусловную вероятность Р(А) события А независимо от того, какой именно гипотезой оно порождено. Такая и подобная ей задачи решаются с помощью формулы полной (средней) вероятности следующим образом.

Полная (средняя) вероятность Р(А) события А, которое может произойти вместе с одной из гипотез H₁, H₂,... H_n, равна сумме произведений вероятностей гипотез Р (H_i) на условные вероятности Р (А / H_i) события А при каждой из гипотез:

(1.15.1)

Докажем это утверждение. Событие А осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляются события ИЛИ АH₁, ИЛИ АH₂,…, ИЛИ АH_n, которые, как и события H₁, H₂,... H_n несовместны. Поэтому

По теореме сложения несовместных событий имеем

Применив теорему умножения к слагаемым, получим

Следовательно

Формула полной вероятности (1) применяется тогда, когда рассматриваемое событие может появиться по нескольким каналам. Например, для определения частоты появления ошибок в тексте за счет искажения букв помехами; определения полной вероятности выхода из строя какого-либо элемента РЭС с учетом всех причин, приводящих к его отказу; расчета надежности и т.д.

Рассматривая рис. 1.20 как схему передачи и приема сообщений, можно заключить, что в отсутствие помех имеет место полное взаимное соответствие, т.е. при передаче, скажем, H₁, мы получим на приемной стороне «А», передаче H₂ будет соответствовать «В» и т.д. Значит, при приеме «А» можно с уверенностью сказать, что было передано H₁, а при приеме «В» - H₂. При наличии помех однозначное соответствие нарушается.

Применительно к радиосвязи априорные вероятности букв Р (H_i) определяют путем изучения статистики их появления в русском тексте, а вероятности перехода Р (A/H_i) путем изучения статистики искажений букв при радиообмене на однотипных линиях радиосвязи.

Дата добавления: 2014-01-03