КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Математика в 19 веке, проблемы Гильберта и математика 20 века
Современная математика
В XIX в. начинается новый период в развитии математики — современный. Интересно отметить, что к концу XVIII в. некоторые ученые утверждали, что область математических исследований уже в основном истощена, что все главное уже сделано, изложено в классических монографиях, и будущим поколениям ученых остается только решить незначительные задачи. Это объясняется тем, что развитие математики было связано с развитием механики и астрономии, и в конце XVIII в. казалось, что процесс изучения этих областей в основном завершен: законы движения уже открыты и соответствующий математический аппарат разработан. Однако в XIX в. математика получила новый мощный импульс для своего развития. Расцвет естествознания — изучение магнетизма, электричества, теплопроводности — потребовал расширения математического аппарата. В первой половине XIX в. в этой области было получено большое число важнейших результатов. Была развита теория уравнений в частных производных, обобщены методы вариационного исчисления, разработана теория дифференцирования и интегрирования в комплексной области. В XIX в. сложился аппарат разложения функций в тригонометрические ряды, который позволил представить в виде бесконечного ряда всякую непрерывную функцию, тогда как аппарат степенных рядов применим только к функциям, имеющим производные всех порядков. Произошли коренные изменения во всех важнейших областях математики: алгебре, геометрии, математическом анализе. Основной задачей алгебры до XIX в. было решение алгебраических уравнений. После того как в эпоху Возрождения были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, математики приложили много усилий к отысканию аналогичных формул для решения уравнений пятой степени и выше. Однако работа в этом направлении в течение нескольких столетий не давала положительных результатов. Это поставило перед математикой вопрос: существуют ли вообще такие формулы? Крупнейшие ученые — Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс, занимавшиеся теорией алгебраических уравнений, — заметили, что вопрос о разрешимости каждого уравнения сводится к изучению подстановок из его корней.
Опираясь на эти результаты, в XIX в. Н. Абель доказал теорему о том, что уравнения пятой степени и выше неразрешимы в радикалах, т. е. показал, что не существует общей формулы для решения всякого уравнения степени п при п > 5. Полное решение проблемы получено Э. Галуа, который нашел критерий, позволяющий по отношению к каждому конкретному уравнению решить вопрос, разрешимо это уравнение в радикалах или нет. Теория Галуа основана на изучении группы подстановок корней уравнения. Так в математику вошло понятие группы. В результате предмет алгебры значительно расширился. Если до этого изучали операции с числами — сложение, умножение, вычитание, деление, — то в конце XIX в. алгебра стала изучать умножение подстановок, сложение векторов, сложение движений и вообще любых преобразований. Современная алгебра изучает общее понятие операции. Ее результаты применимы к объектам любой природы, и поэтому она находит самое широкое применение как в остальных областях математики, так и в физике, химии, биологии и других науках. Еще более существенное воздействие на развитие математики оказала геометрия Н. И. Лобачевского, развитая им к 1829 г. В течение тысячелетий ученые пытались доказать пятый постулат Евклида, утверждающий, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В XVIII в. многие ученые пытались доказать его способом от противного. Они предполагали, что постулат несправедлив, и стремились прийти к противоречию.
Н. И. Лобачевский подошел к проблеме по-новому. Он принял все постулаты Евклида, кроме пятого, и присоединил к ним допущение, противоположное пятому постулату: через точку, лежащую вне прямой, можно провести более одной прямой, каждая из которых параллельна заданной. На основе этих допущений Н. И. Лобачевский построил новую геометрию. Идеи Н. И. Лобачевского смелы и неожиданны, и они не были поняты его современниками. Новая геометрия получила признание лишь в конце XIX в. Значительный вклад в ее создание внесли К. Гаусс, Г. Риман, А. Пуанкаре и многие другие ученые. Так математика подошла к изучению многих различных геометрий и тем самым получила аппарат не только для изучения пространства в рамках Евклида, но и для изучения других форм и отношений действительности, сходных с пространственными. Слово пространство приобрело в математике новый смысл. Современная математика изучает пространство функций, векторов, пространство решений данного уравнения и др. Геометрические методы проникли во все важнейшие области математики. Геометрия — мощный инструмент познания окружающего нас физического пространства. Глубокие сдвиги произошли в XIX в. также в области математического анализа. Была выяснена его логическая основа — теория пределов. Уточнение основ анализа привело математику к изучению бесконечных множеств. Теория множеств, созданная в конце XIX в., сыграла большую роль в развитии новых идей математики. На ее основе сформировалось общее понятие функции как соответствия между множествами М и N произвольной природы. В классическом математическом анализе М и N — это множества действительных чисел. В XIX в. были заложены основы более общего анализа — функционального, в котором под множеством М понимали множество функций. Были подвергнуты изучению важнейшие совокупности, или пространства функций. Функциональный анализ, возникший как обобщение математического анализа, соединил основные методы анализа, алгебры и геометрии. Он успешно развивается в настоящее время и имеет важные практические приложения.
Функциональный анализ, теория функций и топология — три направления в математике, которые родились в XX в. и играют выдающуюся роль в современной науке. Благодаря их развитию классические области (алгебра, геометрия, математический анализ, теория чисел, теория вероятностей) существенно обогатили свое содержание. В XX в. А. Эйнштейн открыл теорию относительности, была создана квантовая механика. Математический аппарат для этих великих открытий был найден немецкими математиками Д. Гильбертом, Г. Минковским, французским ученым А. Пуанкаре и их последователями. В 40-е гг. XX в. было создано новое направление в математике — теория информации. Американский ученый Н. Винер включил ее в более общую научную дисциплину, которую он назвал кибернетикой. XX век унаследовал от прошлых времен несколько великих проблем. Самая старая из них — поставленная в XVII в. задача доказательства теоремы Ферма, утверждающей, что уравнение при п > 2 неразрешимо в натуральных числах. Теорема Ферма была доказана в 1995 г. средствами алгебраической геометрии. Вклад в доказательство внесли многие математики. Но окончательно проблему решил английский математик Э. Уайлс. В первой половине XX в. возникла идея аксиоматического построения всей математики на базе теории множеств. Великий математик XX столетия, Д. Гильберт создал аксиоматику элементарной геометрии, крупнейший русский ученый А. Н. Колмогоров — аксиоматику теории вероятностей.
Подчеркнем принципиальную особенность, которая отличает математику XX в. от математики предыдущих столетий: создание электронных математических машин и их математического обеспечения. На протяжении истории человечества математика три раза получала мощные импульсы от действительного мира. Впервые это произошло в древности. Занятия земледелием, строительством простейших сооружений, торговлей привели к созданию арифметики и геометрии. Второй импульс математика получила в XVII в. Потребности механики, оптики, техники, географии, связанные с необходимостью изучать движение, привели к понятиям производной и интеграла, к созданию математического анализа.
Третий мощный толчок математика испытала в середине XX столетия, когда были созданы первые ЭВМ и возникла необходимость их программного обеспечения. В наши дни идет процесс бурного развития вычислительной математики. Но до аксиоматического построения этой области еще далеко — это проблема будущего развития науки. Для XX в. характерен расцвет не только теоретической, но и прикладной математики. Общеизвестна ее роль в астрономии, физике, технике, военном деле. В наши дни математика применяется также в экономике, экологии, социологии, психологии, лингвистике и других науках. Экономика не только использует существующий математический аппарат. Она способствовала созданию линейного программирования — новой области математики. Его основные идеи сформулировал Л. В. Канторович, получивший совместно с американским ученым Т. Купмансом в 1975 г. Нобелевскую премию по экономике за приложение методов линейного программирования. Поскольку Нобелевская премия в области математики не присуждается, в том же 1975 г. премией фон Нейманна были отмечены исследования Дж. Данцига, создателя симплекс-метода. Одна из важных особенностей математики XX в. — ее внимание к проблемам управления. Решая любую задачу, необходимо стремиться к эффективному использованию природных богатств, людских ресурсов, технических средств. Так возникает проблема наилучшего, или, как говорят, оптимального управления. В XX в. особую актуальность приобрели также задачи управления летательными аппаратами. Потребности техники, в частности космической, выдвинули целую серию новых задач, которые не удавалось решить средствами классического математического анализа. Нужно было развить его, обобщить и создать новый раздел: выпуклый анализ. Соответствующая математическая теория была создана Л. С. Понтрягиным во второй половине XX в. В любом обществе люди хранят, обрабатывают и передают информацию. Однако только в середине XX в. создана информатика — совокупность наук об информационных процессах. В математике разработаны принципы измерения информации. Разведчикам и дипломатам всегда была нужна шифровка информации. В XX в. теория защиты информации — криптография — стала точной математической наукой. Новая математическая дисциплина — теория игр — создана в XX в. Она анализирует конфликтные ситуации при столкновении интересов двух и более сторон, преследующих различные цели. Такие ситуации возникают в военной сфере, спортивных соревнованиях, в судебных процедурах и в экономике. Уже в древних государствах велся учет населения, способного платить налоги. С усложнением жизни потребовались научные методы обработки и анализа самых разнообразных сведений об обществе, в том числе и связанных с учетом налоговых поступлений. Демографическая статистика изучает численность населения, его возрастной и профессиональный состав. Экономическая статистика разрабатывает методы прогнозирования роста и спада производства. Имеются другие виды статистики — медицинская, финансовая, страховая. В XX в. на основе теории вероятностей создана новая область математики — математическая статистика. Ее методы широко используются в народном хозяйстве и военном деле, в социологии, психологии и лингвистике. Именно поэтому в наши дни математику преподают будущим специалистам гуманитарного профиля. Она не только развивает способность к абстрактному мышлению. Математика — это инструмент, позволяющий глубоко проникать в сущность любой области человеческой деятельности. Приведем в заключение слова замечательного ученого и педагога И. Г. Петровского, который в течение многих лет был ректором Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова: «Великий математик Карл Фридрих Гаусс в свое время назвал математику «царицей всех наук». Математика скорее добрая фея, только получить у нее можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент — математические методы».
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 4356; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |