Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

(5)

Для нахождения интегралов вида , где R – рациональная функция (не содержащая sin х и cos x под знаком корней), используют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и (6)

17. Формула Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл.

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона – Лейбница, получаем:

=.

Ответ: =.

18. Несобственные интегралы первого и второго рода

Примером несобственного интеграла первого рода является интеграл

(8)

Интегралы

, (9)

где a – точка бесконечного разрыва функции , и

, (10)

где b – точка бесконечного разрыва функции , относятся к несобственным интегралам второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

.

Ответ: интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому

,

следовательно, интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится.

19. В ычисление площади плоской фигуры в декартовой системе

Дата добавления: 2014-01-03