Возрастание и убывание функции. Экстремумы

Исследование функций с помощью производной

Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) положительна, то функция возрастает на этом интервале.

Теорема (необходимое условие убывания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неположительна, т.е. f¢(x) £ 0.

Теорема (достаточное условие убывания функции Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Точка х₀ из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х ≠ х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀).

Точка х₀ из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х ≠ х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x₀).

Теорема (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₀ и точка х₀ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Теорема (I достаточное условие существования экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ и непрерывна в самой точке x_{0 .}

Если при переходе через точку x₀ производная f′(x) меняет знак с минуса на плюс, то точка x₀ является точкой минимума.

Если при переходе через точку x₀ производная f′(x) меняет знак с плюса на минус, то точка x₀ является точкой максимума.

Если при переходе через точку x₀ производная f′(x) не меняет знак, то точка x₀ не является экстремумом.

Теорема (II достаточное условие существования экстремума) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ и непрерывна в самой точке x_{0 ,} причем f¢(x₀) = 0, а f¢¢(x₀) ≠ 0, тогда функция f(x) в точке х = х₀ имеет максимум, если f¢¢(x₀)<0 и минимум, если f¢¢(x₀)>0.

Критическими точками I рода функции называются точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует.

Дата добавления: 2014-01-03