Функциональные последовательности

Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Последовательность { f_n(x) } сходится к функции f(x) на отрезке [ a,b ], если для любого числа e>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство

выполняется при n >N.

При выбранном значении e>0 каждой точке отрезка [ a,b ] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [ a,b ], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [ a,b ], т.е. будет общим для всех точек.

Последовательность { f_n(x) } равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [ a,b ], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n >N для всех точек отрезка [ a,b ].

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Дата добавления: 2014-01-03