Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Пример 8

Рис.10

 

Пример 9. Определите, какие из следующих отношений между множествами

A={a, b, c}и B={1, 2,3}являются функциями из множества А в В.

Решение:

(а) Отношение – не функция, поскольку элементу а соответствуют два разных элемента множества В: 1 и 2.

(б) Отношение g является функцией.

(в) Последнее отношение функцией не является, поскольку элементу b не соответствует ни одного элемента.

Пример 10. Какие из отношений являются функциями?

(а) «х – брат или сестра у» на множестве всех людей;

(б) отношение на множестве Z, задано парами:

(в) отношение на множестве R, задано парами:

Решение:

(а) Это не функция, поскольку есть люди с несколькими братьями и сестрами, а также бывают семьи с единственным ребенком, т.е. ни брата, ни сестры нет.

(б) Отношение б функция, поскольку по каждому числу х его квадрата х2 определяется однозначно.

(в) Последнее отношение – не функция, так как, например, обе упорядоченные пары: и - ему принадлежат. Кроме того, в нем отсутствуют пары (х, у) с отрицанием х.

Пусть – функция из множества А в множество В. Поскольку для каждого существует единственным образом определенный , такой, что , мы будем писать у =(х), и говорить, что функция отображает множество А в множество В, а (х) называть образом х при отображении или значением , соответствующим аргументу х.

Кроме того, можно написать :A→B, чтобы подчеркнуть, что функция переводит элементы из А в элементы В. Множество А принято называть областью определения, а В – областью значений функции.

Типы отображений.Отображение называется ее инъективным или инъекцией, или взаимно однозначным отображением, иначе «в», если для всех .

Это определение логически эквивалентно тому, что

т.е. у инъективной функции нет повторяющихся значений. Иными словами, разные входные данные дают различные выходные данные.

Будем называться функцию сюръективной или сюръекцией, или функцией «на», если множество ее значений совпадает с областью значений. Это означает, что для каждого найдется такой , что b=(a). Таким образом, каждый элемент области значений является образом какого – то элемента из области определения .

Мы называем биективной функцией или просто биекцией, если она как инъективна, так и сюръективна.

Пример 11. Определите, какие из функций, изображенных на рис. 11, инъективны, а какие сюръективны. Перечислите все биекции.

 

Рис.11

 

Решение:

(а) Данная функция не инъективна, поскольку значение 1 соответствует как a, так и b. Она не является и сюръекцией, ввиду того, что в элемент 2 ничего не переходит.

(б) Данная функция инъективна, т.к. не имеет повторяющихся значений. Она же и сюръективна, поскольку множество ее значений совпадает со своей областью значений.



(в) Значение 1 эта функция принимает как на а, так и на b. Следовательно, она не инъективна. Однако данная функция сюръективна, поскольку в ее множество значений входят все элементы области значений.

(г) Последняя функция инъективна, но не сюръективна (в элемент 2 ничего не переходит).

Только в случае (б) мы имеем биекцию.

 

Обратные функции. Пусть - произвольная функция. Рассмотрим функцию закон которой задан следующим образом: в том и только в том случае, если . Построенная таким образом функция называется обратнойк функции . При графическом представлении обратная функция получается из данной переменной направления стрелок.

Если функция задана аналитически, например, у = 5х и требуется найти обратную, то следует:

1) выразить х через у;

2) переименовать переменные.

В соответствии с заданной функцией: 1)

2)

Таким образом, обратная функция будет .

Если функция задана перечислением пар, например, то для задания обратной функции следует пометь местами образы и прообразы, т.е.

Обратными для тригонометрических функций являются: для sin x - arcsin x,

для cos x – arcos x и т.д.

Для логарифмических функций обратной будет показательная и наоборот. Обратной для х2 будет и т.д.

Обратная функция однозначна в том и только в том случае, когда заданная функция инъективна.

Функция обратима только тогда, когда она биективна.

Суперпозиция функций.Результатом суперпозиции двух данных функций и называется функция , закон которой задается следующим образом: в том и только в том случае, если существует такой элемент , что и .

Функция , полученная таким способом из функций и называется их композицией.

Пример 12. Даны две функции и (рис.12).

 

               
   
С
   
B
 
А
 
 
 


d
c
b
a

               
     
 
     
x
 
       
y
 
 
 
       
z
 
 
 

 


 

 

Рис.12

 

В функции в функции

В соответствии с определением получаем, что в новой функции

Пример 13. Заданы функции и Вычислить

Решение. Все четыре новые функции определены на R со значениями в R.

Как видно из вычислений, результат суперпозиции двух данных функций зависит от их порядка, т.е. операция суперпозиции не обладает свойством коммутативности.

В современных языках программирования функции используется очень широко. Они дают нам возможность выделить отдельные вычисления в подпрограммы. В большинстве языков есть специальные библиотеки с наиболее часто применяющимися функциями, такими как sin x, log x, и т.д. Кроме того, в них легко создавать собственные функции.

В некоторых особенно мощных языках, известных как языки функционального программирования, основные операторы определены в терминах функций. Главная особенность таких языков – возможность построения новых, более сложных, операторов из основных. Чтобы уметь это делать, нам необходимо в совершенстве овладеть композицией функций.


РАЗДЕЛ 3. ПРЕДИКАТЫ

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Пример 8

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 383; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. В качестве примера формирования приусадебного землепользования рассмотрим следующую ситуацию.
  2. В социальной самоидентификации играют роль запахи, обусловленные генотипом и средовыми влияниями, например диетой.
  3. Величина среднесуточной предельно допустимой концентрации строже, жестче, чем максимально-разовая ПДК, и составляет примерно 10% от величины последней.
  4. Власть примера. Влияние с помощью харизмы.
  5. Внимание: не брать из интернета и из лекции. Другие примеры.
  6. ВОПРОС 4. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ГИДРОСТАТИКИ
  7. Вопрос Государственная система управления информационной безопасностью в РФ(на примере ФТС)
  8. Г.Ф. Шершеневич, например, пишет: «Различные формы, в которых выражается право, носят издавна название источников права».
  9. ГОСТ12.Х.ХХХ-ХХ ССБТ. (Например, ГОСТ12.1.005-88),
  10. Для примера 1.
  11. Зовании (например, в агрессивной среде).
  12. И их примерные типовые социальные группировки




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.81.174.180
Генерация страницы за: 0.099 сек.