Предмет и метод математического анализа

Лекция № 1

Дифференциальное исчисление (функции одной переменной)

Тема: «Введение в математический анализ»

1. Предмет и метод математического анализа. 2. Числовые множества, границы числовых множеств 3. Понятие функции. Способы задания. 4. Параметрическое и неявное задание функции. Суперпозиция функций. Обратная функция. 5. Гиперболические Функции.  

Сегодня мы приступаем к изучению основного раздела дисциплины «Математика» - математическому анализу.

Математический анализ является одной из наиболее значительных частей математики.

Характерной чертой этого раздела можно назвать его тесную связь с практикой.

Математика развивалась и развивается под влиянием нужд практики. Та математика, которая называется элементарной и, в основном изучается в средней школе, сложилась очень давно. Существенная её особенность в том, что она оперирует с постоянными величинами.

Высшая математика сложилась сравнительно недавно.

Бурное развитие естествознания 16-17 веках требовало изучения переменных явления, процессов. В связи с этим в математику была введена переменная величина.

Введение переменной величины (его связывают с именем французского математика Рене Декарта, 1596-1650 гг.) было событием огромной важности, т.к. математика получила возможность не только устанавливать количественные соотношения между постоянными величинами, но и изучать протекающие в природе процессы, в которых участвуют переменные величины: «в математику вошло движение и, тем самым, диалектика».

С введением в математику переменной величины, изучение скорости тела, например, было сведено к изучению скорости изменения переменной величины. Так сложилась математика переменных величин – дифференциальное исчисление.

Поиски общего метода (алгоритма) вычисления площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел, длин кривых линий и т.д., привели к интегральному исчислению.

Разделение математики на элементарную и высшую, конечно, условно, т.к. постепенно в элементарную все больше включаются вопросы высшей математики.

Что же представляет собой эта дисциплина?

Основным понятием математического анализа является функция, а методом – предельный переход.

Зародился этот метод в глубокой древности в связи с вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, но был весьма несовершенен.

Научную разработку метод пределов получил в трудах английского математика, физика, механика Исаака Ньютона (1642-1727) и немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница. (1646-1716).

Этот метод применялся для решения многих задач геометрии, механики, физики и прикладных наук, хотя определения предела не было дано. Прошел длительный период, сопровождавшийся борьбой взглядов, преодолением трудностей, пока в 20-е годы 19 века французский математик Огюст Луи Коши (1789-1857) систематически развил теорию пределов как метод стройного построения математического анализа. Вот как определяет Коши понятие предела: «Если значения переменной величины неограниченно приближаются к фиксированному значению так, что с некоторого момента отличаются от него сколь угодно мало, то это фиксированное значение является пределом переменной».

Тесная связь с практикой, с прикладными науками стала характерной особенностью математического анализа с первых лет его самостоятельного существования. Последовавшее за опубликованием работ Ньютона и Лейбница бурное развитие математического анализа превратило его к концу 18 века в мощный арсенал средств самых разнообразных технических задач. Благодаря этому знакомство с математическим анализом, овладение его методами ещё тогда сделалось обязательным для каждого инженера.

Изучение любого явления в природе и технике предполагает наличие математической модели (алгебраическое уравнение, система, дифференциальное уравнение-ТЭЦ и т.д.) которая адекватно описывает исследуемое явление. Для исследования различных явления с помощью математических моделей необходимо владеть определенными методами, которые мы и будем изучать.

Дата добавления: 2014-01-03