Новочеркасск 2012

Лекции

«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ» (Часть V: Решение систем дифференциальных уравнений)

Оглавление

Задача Коши. 3

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 3

Метод последовательного дифференцирования. 3

Метод неопределенных коэффициентов. 4

Метод последовательных приближений.. 4

Метод Эйлера. 5

Метод Рунге-Кутта. 6

Метод Милна. 6

Дифференциальные уравнения второго порядка. 7

Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 7

Метод прогонки.. 8

Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка 9

Метод Галеркина. 10

Метод коллокации.. 11

Примеры решений. 12

Примеры реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений 12

ЛИТЕРАТУРА.. 18

Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ^',..., y ^{(n − 1)}) заключается в отыскании функции y=y(x), удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям , где - заданные числа.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений

заключается в отыскании функций y ₁, y ₂,..., y_n, удовлетворяющих этой системе и начальным условиям y ₁(x ₀) = y ₁₀, y ₂(x ₀) = y ₂₀,..., y_n (x ₀) = y_{n 0}.

Систему, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести к системе. В частности, дифференциальное уравнение n-ого порядка y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ^',..., y ^{(n − 1)}) приводится к системе с помощью замены y ₁ = y ^', y ₂ = y ^'',..., y_{n − 1} = y^{n − 1}, что дает общую систему:

,

,

...

,

.

Если удается найти общее решение уравнения или системы, то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Но найти общее решение задачи Коши удается в редких случаях; чаще всего приходится решать задачу Коши приближенно.

Дата добавления: 2014-01-03